Axiomatización de las fórmulas de Gross-Zagier

Question

Sea $\pi$ sea una representación automórfica global de algún grupo reductor sobre un campo numérico, y sea $L(\pi,s)$ denota su función L. Supongamos que $L(\pi,s)$ se extiende meromórficamente al plano complejo y satisface una ecuación funcional de la forma $$ L(\pi,s)= \varepsilon(\pi,s) L(\pi^\star,1-s), $$ donde $\pi^\star$ denota el contragrediente dual de $\pi$ .

Supongamos que $L(\pi,1/2)=0$ et $L'(\pi,1/2)\ne 0$ .

Pregunta 1:
¿Bajo qué circunstancias esperamos la existencia de un ciclo algebraico nulo-homólogo $D$ en alguna variedad $V$ para el que su altura $h(D)$ tiene sentido y está bien definida, y la igualdad (hasta un factor de error no nulo y bien entendido) $$ L'(\pi,1/2) \overset{\cdot}{=} h(D) $$ ¿tiene?

Pregunta 2: Supongamos que se espera que la respuesta a la primera pregunta sea "sí" para un determinado $\pi$ y asuma también se nos da un buen candidato, conjetural, para $D$ . ¿Es posible axiomatizar lo que hay que demostrar sobre la función L $L(\pi,s)$ el emparejamiento de altura $h$ y el ciclo $D$ para demostrar lo anterior Fórmula Gross-Zagier ?

Mi opinión es que la respuesta a la P1 debería ser sí al menos cuando $\pi$ es autodual, es decir, $\pi \simeq \pi^\star$ . Pero no sé si cabe esperar una fórmula semejante también para no autodual $\pi$ .

Permítanme también aclarar que soy no preguntando por las dificultades de construir un candidato adecuado para $D$ . No porque sea una pregunta poco interesante, sino para centrar el debate. En la primera pregunta sólo pregunto si existe un ciclo que satisfaga la fórmula Gross-Zagier, pero no pregunto quién $D$ es. En la segunda pregunta asumo $D$ y me pregunto qué propiedades debe satisfacer, pero, de nuevo, no me importa quién. $D$ es.

Ejemplo 1: Permítanme explicar el escenario básico que tengo en mente. Sea $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica y $K$ un campo cuadrático imaginario. Si el par $(E,K)$ satisface la hipótesis de Heegner, entonces el orden de desaparición de la función L (autodual) $L(E/K,s)$ en su valor crítico central $s=1$ es impar, y Gross-Zagier demostró que existe un cierto punto (Heegner) $P_K\in E(K)$ tal que $$ L'(E/K,1) \overset{\cdot}{=} h(P_K). $$

Aquí $P_K$ desempeña el papel de $D$ en la pregunta general. Y estamos evaluando la función L en $s=1$ en lugar de $s=1/2$ sólo porque lo hemos renormalizado para que la ecuación functonal relacione los valores en $s$ y $2-s$ .

Y permítanme explicarles ahora algunos ejemplos en los que no conozco las respuestas.

Ejemplo 2: Sea $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica de conductor primo $p$ y $K$ a real campo cuadrático en el que $p$ permanece inerte. Entonces el orden de desaparición de la función L (autodual) $L(E/K,s)$ en su valor crítico central $s=1$ es impar. Henri Darmon ha construido un punto $P_K\in E(K_p)$ racional sobre la finalización de $K$ en $p$ que él conjetura que es realmente racional sobre $K$ . No estoy preguntando cómo demostrar esta afirmación aquí, sino más bien: suponer como una caja negra que $P_K$ se encuentra en $E(K)$ . Lo que hay que saber sobre $L(E/K,s)$ y $P_K$ para demostrar que $L'(E/K,1) \overset{\cdot}{=} h(P_K)$ ?

Ejemplo 3: Sea $E/\mathbb{Q}$ sea una curva elíptica. Sea $\chi$ sea un carácter de Dirichlet y $\mathbb{Q}_\chi$ sea la extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ recortado por $\chi$ . Supongamos que $L(E,\chi,1)=0$ y $L'(E,\chi,1) \ne 0$ . La conjetura de Birch y Swinneton-Dyer predice la existencia de un distinto de cero punto $P_{\chi} \in E(\mathbb{Q}_{\chi})\otimes \mathbb{C}$ tumbado en el $\chi$ -del grupo Modell-Weil bajo la acción de Galois.

¿Esperamos que la igualdad $L'(E,\chi,1) \overset{\cdot}{=} h(P_\chi)$ ¿para resistir algún factor de manipulación conceptualmente bien entendido? (Obsérvese que si suponemos que ambos lados son distintos de cero, la fórmula se cumple obviamente si el factor de manipulación es $L'(E,\chi,1)/h(P_\chi)$ (y esto no es lo que se dice un factor de confusión bien entendido).

Ejemplo 4: Sea $f\in S_2(N,\chi)$ sea una nueva forma (cuspidal, normalizada) de peso $2$ Nivel $N$ y carácter nebentype $\chi$ . A continuación, el campo $\mathbb{Q}_f$ generados por los coeficientes de Fourier de $f$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ digamos de grado $d$ . La construcción Eichler-Shimura da lugar a una variedad abeliana $A_f/\mathbb{Q}$ .

En el lado geométrico, tenemos de nuevo una construcción natural de puntos de Heegner: $A$ es un cociente del jacobiano $J_1(N)$ de $X_1(N)$ . Dado un campo cuadrático imaginario $K$ la teoría de la multiplicación compleja nos permite construir puntos de Heegner $P$ en $X_1(N)$ que son racionales sobre una extensión abeliana adecuada $H/K$ . Esto se ha estudiado ampliamente para $X_0(N)$ en cuyo caso $H$ es un campo de clase de anillo. Pero también es conocido por $X_1(N)$ donde $H$ ya no es anticiclotómico; contiene, por ejemplo, la extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ recortado por $\chi$ .

En cualquier caso, se puede construir un punto de Heegner $P_K\in A(K)$ rastreando $P$ de $H$ a $K$ . Y si $\psi$ es un carácter de $\mathrm{Gal}(H/K)$ también se puede definir $$ P_\psi = \sum_{\tau\in \mathrm{Gal}(H/K)} \psi^{-1}(\tau)P^\tau \in E(H)\otimes \mathbb{C}, $$ que se encuentra en el $\chi$ -eigenparte de $E(H)\otimes \mathbb{C}$ .

Por el lado de la función L, $L(A/\mathbb{Q},s)$ factores como $$ L(A/\mathbb{Q},s) = \prod L(f^\sigma,s) $$ donde $\sigma$ rangos sobre el $d$ diferentes incrustaciones de $\mathbb{Q}_g$ en $\mathbb{C}$ .

En $L(A/\mathbb{Q},s)$ es autodual, cada uno de los factores individuales $L(f^\sigma,s)$ es autodual si y sólo si $\chi$ es el carácter trivial. Si $f^\star$ denota la forma modular obtenida a partir de $f$ conjugando complejamente sus coeficientes de Fourier, entonces la ecuación funcional de $L(f,s)$ lo relaciona con $L(f^*,2-s)$ .

Una discusión similar es válida para el cambio de base de $A$ a $H$ . La función L de $A\times H$ es autodual, pero se factoriza como producto de series L del tipo $L(f/K,\psi,s)$ donde $\psi$ abarca los caracteres de $\mathrm{Gal}(H/K)$ . Cada una de las funciones L individuales no siempre son autoduales (con respecto a $\chi$ y $\psi$ adelically over $\mathbb{Q}$ y $K$ respectivamente, $L(f/K,\psi,s)$ es autodual si y sólo si la restricción de $\psi$ a los ideles de $\mathbb{Q}$ es la inversa de $\chi$ .)

Las fórmulas de Gross-Zagier han sido demostradas en el entorno autodual por Zhang y sus colaboradores, y también por Howard. Y Olivier nos recordó que tal fórmula es no que cabe esperar si insistimos en utilizar el punto $P_\psi$ . Entonces la pregunta es: para pares arbitrarios $(\chi,\psi)$ ¿existe un punto $P\in (E(H)\otimes \mathbb{C})^{\psi}$ para lo cual $L'(f/K,\psi,1)\overset{\cdot}{=} h(P)$ ¿hasta un factor de error no nulo bien entendido?

Answer 1

ACTUALIZACIÓN: He actualizado ligeramente esta respuesta para tener en cuenta el comentario de Victor.

Creo que las preguntas precisas que se plantean admiten una respuesta directa. Por el momento, no se conoce ninguna fórmula de este tipo y las pruebas de Gross-Zagier, Waldspurger, Zhang et al. y Howard requieren todas ellas de forma absoluta y crucial la hipótesis de la autodualidad. Esto se debe a que la parte teórica de la representación de la prueba requiere una comprensión de los vectores de prueba, como en los trabajos de Tunell y Saito o como en la conjetura de Gross-Prasad. Esto se explica, por ejemplo, en el artículo de Gross titulado Heegner points and representation theory, así como en Non-triviality of CM points in ring class field towers. Aflalo, Esther y Nekovář, Jan. Israel J. Math. 175 (2010), 225--284 (en el que se explora la configuración formal).

En cuanto a si una fórmula similar podría mantenerse, no soy demasiado optimista. Una fórmula Gross-Zagier debería implicar $\psi$ -de la acción de $\textrm{Gal}(H/\mathbb Q)$ sobre la proyección de un punto CM sobre el $\pi(f)$ -del jacobiano de una curva de Shimura. Sin embargo, comparando la acción de Galois sobre los puntos CM con la acción adelica sobre el jacobiano, vemos que esta $\chi$ -sólo puede ser no trivial cuando la restricción de $\psi$ a $\mathbb A_{\mathbb Q}$ es igual a $\chi$ o, de forma equivalente, sólo en el caso autodual. Esto se demuestra, por ejemplo, en Cornut, Christophe; Vatsal, Vinayak Nontriviality of Rankin-Selberg L-functions and CM points. Lemma 4.6.

Obsérvese también que esto es lo que deberíamos esperar de las conjeturas sobre valores especiales de $L$ -funciones aplicadas a $L(f/K,\psi,s)$ cuando $f$ no es autodual. En ese caso, la conjetura implica que $L'(f/K,\psi,s)$ deben estar relacionadas con las clases de cohomología en el doble del motivo de $f$ . Sólo en el caso autodual colapsan en una fórmula que implica la altura de un punto. Por último, en la situación que describes, aunque $L(f,\psi,s)$ puede desvanecerse en 1, se espera que no lo haga genéricamente (digamos en una $\mathbb Z_{p}$ -), por lo que la relación conjetural entre $L(f/K,\psi,s)$ (o su grupo Selmer) y el punto putativo sólo podrían mantenerse "localmente en la especialización correspondiente a $f$ " en un $p$ -de representación automórfica que contiene $\pi(f)\otimes\psi$ . Entonces, todos los argumentos que conozco relacionados con estos objetos simplemente se desvanecerían.

Ahora bien, un argumento basado en la ignorancia no es muy bueno, y me gustaría mucho que me demostraran lo contrario, aunque sólo fuera para aprender algo. Detrás de todo esto se esconde la cuestión de la relación entre el sistema de Euler de Kato y los puntos racionales de las variedades modulares. El vínculo me resulta misterioso, pero David Loeffler y Sarah Zerbes tienen algunas ideas.

Answer 2

He aquí una versión más detallada de mi comentario anterior.

Consideraré sólo el escenario de su Ejemplo 3, a saber $E/\mathbf{Q}$ es una curva elíptica y $\chi$ es un carácter de Dirichlet tal que $L(E \otimes \chi,1)=0$ y $L'(E \otimes \chi,1) \neq 0$ .

Sea $m \geq 1$ sea un número entero. El cambio de base $L$ -función $L(E \otimes \mathbf{Q}(\zeta_m),s)$ es el producto de $L$ -funciones $L(E \otimes \chi,s)$ donde $\chi$ recorre los caracteres del conductor que divide $m$ . La conjetura BSD para el cambio de base $E \otimes \mathbf{Q}(\zeta_m)$ puede refinarse para cada factor $L(E \otimes \chi,s)$ . A grandes rasgos, la idea es que cada invariante aritmético que aparece en la conjetura para $E \otimes \mathbf{Q}(\zeta_m)$ debe ser un factor que refleje la descomposición del motivo $h^1(E \otimes \mathbf{Q}(\zeta_m)) = \bigoplus_{\chi} h^1(E \otimes \chi)$ . El motivo $M_\chi = h^1(E \otimes \chi)$ tiene doble $M_{\overline{\chi}}$ por lo que sólo es autodual cuando $\chi$ es cuadrática.

Supongamos que $L(E \otimes \chi,s)$ desaparece en orden uno en $s=1$ . El principal invariante a considerar es el discriminante del emparejamiento de alturas Néron-Tate $\langle,\rangle$ en $E(\mathbf{Q}(\zeta_m)) \otimes \mathbf{R}$ . Podemos extender este emparejamiento a una forma hermitiana definida positiva sobre $V=E(\mathbf{Q}(\zeta_m)) \otimes \mathbf{C}$ . Existe una descomposición de $V$ en componentes isotípicos $V_\chi$ que son ortogonales con respecto al emparejamiento. En este caso concreto, esperamos que $L'(E \otimes \chi,1) \sim \langle P_{\chi},P_{\chi} \rangle$ donde $P_\chi$ es un generador de $V_\chi$ . Normalmente $P_\chi$ adopta la forma $\sum_{\sigma} P^{\sigma} \otimes \chi(\sigma)$ para algunos $P \in E(\mathbf{Q}(\zeta_m))$ .

Para convencerte de que esto es razonable, aquí tienes un ejemplo que he calculado utilizando Magma. El rango $0$ curva elíptica $E=X_0(20):y^2 = x^3 + x^2 + 4x + 4$ adquiere dos puntos independientes de orden infinito sobre la extensión cúbica $\mathbf{Q}(a)$ con $a=2\operatorname{cos}(2\pi/9))$ . Dejar $P=(a+1,2a+3)$ comprobamos numéricamente que $L'(E \otimes \chi,1) \sim \Omega_E \cdot \langle P_\chi,P_\chi \rangle$ . El factor de manipulación parece ser un número algebraico de grado 6.

E:=EllipticCurve("20a1");
G:=FullDirichletGroup(9);
chi:=(G.1)^2; // Character of conductor 9 and order 6
LEchi:=TensorProduct(LSeries(E),LSeries(chi)); // L-Series L(E \otimes \chi,s)
Evaluate(LEchi,1);
//2.22329881577004394873515961159E-30
LEchi1:=Evaluate(LEchi,1:Derivative:=1);
LEchi1;
//2.78851510267155729197040153856 + 0.491690448714030907428058875920*$.1

Q<x>:=PolynomialRing(Rationals());
K<a>:=NumberField(x^3-3*x+1); // Cubic sufield of Q(zeta_9)
EK:=BaseChange(E,K);

G,_,map:=AutomorphismGroup(K); // Galois group of K
P:=[EK![(map(g))(a)+1,2*(map(g))(a)+3] : g in G]; // Set of conjugates of P=[a+1,2a+3] with a=2cos(2pi/9)
M:=HeightPairingMatrix(P);

C:=ComplexField();
PchiPchi:=C!M[1,1] + C!chi(2)*C!M[1,2] + C!chi(4)*C!M[1,3];

ratio:=LEchi1/(Periods(E)[1]*PchiPchi);
PowerRelation(ratio,6);
//27*x^6 - 9*x^3 + 1

No estoy seguro de la situación para las variedades abelianas generales $A_f/\mathbf{Q}$ pero supongo que algo de lo anterior podría extenderse.

Por supuesto, la verdadera cuestión parece ser si estos puntos $P_\chi$ ¡están relacionados de alguna manera con los puntos Heegner!