Por favor, vea esto: 
¿Cómo se sigue la última igualdad? ¿Por qué el emparejamiento de dualidad se convierte en una integral sobre $G$ cuando las funciones de prueba se limitan a $L^p$ ???
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Michael Isaev
Puntos
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Por lo tanto, parece que $\langle \cdot,\cdot \rangle$ indica el emparejamiento de dualidad entre dos $L^2$ (o en general $L^p$ ) o entre $H^1_0$ y su dual $H^{-1}$ .
Ahora bien, si tenemos un $H^1_0$ función $f$ y un $H^{-1}$ "función" $g$ está muy bien escribir $\langle f,g \rangle$ ¿pero cómo se calcula realmente? Al fin y al cabo, $g$ podría muy bien ser alguna distribución complicada, por lo que escribir una integral no es realmente lo correcto (a menudo lo hacemos de todos modos, para ser sugestivos, pero es sólo formal).
Sin embargo, si $g$ también está en $L^2$ podemos considerar el mapa de inclusión
$$\iota : H^1_0 \hookrightarrow L^2$$
y su adjunto
$$\iota^* : L^2 \hookrightarrow H^{-1}$$
y tendremos
$$ \langle \iota f,g \rangle = \langle f,\iota^*g \rangle. $$
La dualidad de la derecha es la $H^1_0,H^{-1}$ soporte que hemos intentado evaluar, el de la izquierda es la dualidad en $L^p$ es decir, es una integral en sentido propio.
