Demostrar que la secuencia de variables aleatorias $\frac{X_1 + \dots + X_n + 3n} {X_1^2 + \dots + X_n^2}$ converge casi con seguridad

Question

Variables aleatorias $X_1, X_2, \dots$ son independientes y tienen un exponencial con el parámetro $3$ . Demostrar que la secuencia de variables aleatorias $$ \frac{X_1 + \dots + X_n + 3n} {X_1^2 + \dots + X_n^2} $$ converge casi con seguridad y calcular su límite.

Sabía que cuando las variables aleatorias tienen una distribución exponencial con el parámetro $3$ entonces cada $X_i$ tiene función de densidad: $$f(x) = \begin{cases} 1 \exp{\frac{x}{3}},x>0 \\ 0, x \le 0 \end{cases}$$

pero no se que me da para solucionar el problema.

Answer 1

Tenemos una secuencia de variables aleatorias i.i.d. (independientes idénticamente distribuidas) $X_1,X_2,...$ donde cada $X_i\sim Exp(3)$ . Sabemos que su pdf es $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}I_{(0,+\infty)} = 3e^{-3x}I_{(0,+\infty)}$ . Consideremos la secuencia de variables aleatorias: $$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i + 3n}{\sum_{i=1}^n X_i^2} $$ Vamos a reescribirlo como: $$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i + 3n}{\sum_{i=1}^n X_i^2}\frac{n}{n} =\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i^2}\frac{\sum_{i=1}^n X_i + 3n}{n} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i^2}(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} + 3) $$ Centrémonos en cada término por separado. Por la Ley Fuerte de los Grandes Números, sabemos que: $$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i^2}{n} \to E(X_i^2) = \frac{2}{\lambda^2} = \frac{2}{9} $$ $$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} \to E(X_i) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} $$ casi seguro. Entonces, usando el teorema del mapa continuo, podemos decir que: $$ \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i^2}(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} + 3) \to \frac{9}{2}(\frac{1}{3}+3) = 15 $$ casi seguro.