Funciones de distancia

Question

Aún no estoy seguro de cómo demostrar si algo es un espacio métrico o si una función de distancia específica define un espacio métrico. Estoy tratando de abordar lo siguiente y me gustaría cualquier consejo \corrections si es posible. Sé que una función de distancia debe satisfacer lo siguiente:

1. $d(x,y)\geq 0$ (igual a $0$ si $x=y$ )
2. $d(x,y)=d(y,x)$
3. $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

Supongamos que $d: X \times X \to \mathbb{R}$ es una función de distancia. ¿Son también función de distancia $\rho: X \times X \to R$ :

1. $\rho(x,y)= (d(x,y))^2$
2. $\rho(x,y)= (d(x,y))^{1/2}$
3. $\rho(x,y)= 3d(x,y)$
4. $\rho(x,y)= (d(x,y))^{1/2} + 2d(x,y)$

Prueba:

1. Es evidente que se cumplen las dos primeras propiedades. La desigualdad del triángulo se reduce a demostrar si $d(x,z)^2 \leq d(x,y)^2 + d(y,z)^2$ . Nos encontramos con una contradicción si dejamos que $X$ sea la recta real y consideremos los puntos $x=1, z=-1, y=0$ .
2. No estoy seguro
3. Es evidente que se cumplen las dos primeras propiedades. Cuando nos enfrentamos a la desigualdad del triángulo, podemos factorizar el $3$ y nuestra desigualdad es nuestra desigualdad triangular habitual que suponemos que se cumple ya que suponemos que $d$ es una función de distancia.
4. Debido a $2$ No estoy seguro de ello. Creo que no se mantendrá dependiendo de este problema.

Answer 1

Para 1., sea $X$ sea la recta real con la métrica habitual, y tomemos $x=-1$ , $z=1$ y $y=0$ .

Para 2., $$\rho(x,z) \le \sqrt{d(x,y)+d(y,z)} \le \sqrt{d(x,y)} + \sqrt{d(y,z)} = \rho(x,y) + \rho(y,z).$$