Preguntas sobre el concepto de multiplicidad

Question

Estoy tratando de entender el concepto de multiplicidad, voy a copiar las definiciones del libro que estoy leyendo:

---

Si $f$ es una curva y $l$ es una recta con ecuación $Y=aX+b$ los puntos de $l\cap f$ se puede obtener eliminando $Y$ y resolviendo la ecuación:

$$f_l(X):=f(X,aX+b)=0$$

Tenemos tres posibilidades:

• $f_l(X)$ es cero, y $l$ es un componente de $f$ .
• $f_l(X)$ es una constante $\neq 0$ cuando $f\cap l = \emptyset$
• $f_l(X)$ es un polinomio no constante que puede escribirse como $f_l(X)=c\prod_{i=1}^{r}(X-x_i)^{m_i}$ donde $c$ es una constante y $x_i$ son raíces pares distintas de la intersección.

Definición: La multiplicidad o índice de intersección de $l,f$ en el punto $P$ viene dado por:

$$ \begin{equation*} (l,f)_P= \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \quad P\notin l\cap f \\ \infty & \quad P\in l \subset f\\ m_i &\quad P=(x_i,ax_i+b) \text{ as in case 3 above.} \end{array} \right. \end{equation*} $$

---

He aquí mi confusión: Supongamos que quiero calcular la multiplicidad de $f(X,Y)=2X^4-3X^2Y+Y^2-2Y^3+Y^4$ en $(0,0)$ . Creo que tengo que tomar una línea recta que pasa a través de $(0,0)$ que es $y=AX$ . Supongamos, para simplificar $A=1$ podemos escribir

$$f(X,AX)=X^2 - 5 X^3 + 3 X^4=\frac{ X^2\left(6 X-\sqrt{13}-5\right) \left(6 X+\sqrt{13}-5\right)}{12} $$

Entonces tenemos un polinomio $f_l(X)=c\prod_{i=1}^{r}(X-x_i)^{m_i}$ tal y como se indica en la descripción.

Mi confusión es la siguiente: Tenemos factores con $m_i=1$ y $m_i=2$ . ¿Cuál es la multiplicidad correcta? Me di cuenta de que en la definición, $x_i$ son raíces distintas por pares, ¿qué hacemos aquí? Porque tenemos un término $(x-0)^2$ que tiene dos raíces iguales.

EDITAR:

Definición: Sea $f$ sea una curva y $P$ un punto en $f$ . Existe un número entero $m=m_P(f)\geq 1$ tal que para cualquier línea $l$ de paso $P$ tenemos $(l,f)_P \geq m$ .

Answer 1

Para resolver tu primera confusión: has hecho todo correcto hasta ahora, y la multiplicidad de intersección de tu curva y recta es dos, porque ese es el exponente correspondiente a la $X$ término en tu polinomio de una sola variable. Así que esto dice que la multiplicidad es a lo sumo dos.

Para demostrar que la multiplicidad es exactamente dos utilizando tus definiciones, tendríamos que comprobar todas las rectas que pasan por el origen. Escribiendo $f(X,AX)=2X^4-3AX^3+A^2X^2-2A^3X^3+A^4X^4$ se simplifica en $X^2(A^2-2(A+A^3)X+(2+A^4)X^2)$ y vemos que el orden mínimo al que $X$ divide este polinomio es 2. También tenemos que comprobar $X=0$ lo que da $Y^2(1-2Y+Y^2)$ que también es divisible por $Y$ de orden dos, por lo que la multiplicidad es dos.

El hecho de que esto correspondiera al término de menor grado, $Y^2$ en la expansión de su polinomio alrededor de $(0,0)$ no es casualidad: trasladando el punto en el que estamos considerando la intersección al origen, podemos observar que la parte homogénea de menor grado de la ecuación de nuestra curva se divide como un producto de factores lineales homogéneos, y siempre que la recta con la que nos intersecamos no sea uno de esos factores, la multiplicidad de la intersección que obtengamos de nuestro cálculo será exactamente el grado de la parte homogénea más pequeña distinta de cero. Si la recta que interseca con es uno de esos factores, será mayor, lo que prueba la afirmación.