Deje $F$ ser un campo arbitrario. ¿Cómo podemos describir el conjunto de elementos en $SL(2,F)$ que se conjugan en $GL(2,F)$, pero no en $SL(2,F)$?
Yo sería feliz ya con una solución parcial, como se indica en los comentarios.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No es un resultado general sobre este tipo de cosas, pero voy a tener que cavar hasta cuando puedo volver a mi oficina mañana. AÑADE Aquí la referencia que me prometió. Es el hermoso artículo de G. E. de la Pared, las clases Conjugacy en proyectivas y especiales lineal de los grupos. Bull. Austral. De matemáticas. Soc. 22 (1980), no. 3, 339-364.
De todos modos, en este caso en particular, yo creo que el siguiente debe ser la correcta.
Todos los conjugados de la $A \in \operatorname{SL}(2,F)$ bajo $\operatorname{GL}(2,F)$ también están conjugadas en $\operatorname{SL}(2,F)$ si y sólo si para cada una de las $G \in \operatorname{GL}(2,F)$ hay $S \in\operatorname{SL}(2,F)$ tal que $$ S^{-1} G^{-1} A G S = A $$ es decir, para cada una de las $G \in \operatorname{GL}(2,F)$ hay $S \in\operatorname{SL}(2,F)$ tal que $$GS \in C_{\operatorname{GL}(2,F)}(A),$$ that is, in every coset of the centralizer $C_{\operatorname{GL}(2,F)}(A)$ there is an element of $\operatorname{SL}(2,F)$, that is $$\operatorname{GL}(2,F) = \operatorname{SL}(2,F) C_{\operatorname{GL}(2,F)}(A),$$ that is, the centralizer $C_{\operatorname{GL}(2,F)}(A)$ contiene elementos de arbitrario determinante.
En @BillCook del caso, cada centralizador contiene el escalar de matrices, que han arbitraria determinante, ya que todos los elementos son cuadrados en $F$.
En @Ludolila el primer caso, el centralizador de $A$ es de los elementos de la forma $$ c I + d a = \begin{bmatrix}c&d\\-d&c\end{bmatrix} $$ de determinante $c^2 + d^2 \ge 0$. Así que si usted conjugado (como señaló Ludolila) $A$ por una matriz de negativo determinante, usted nunca será capaz de volver a conjugar con un elemento en $\operatorname{SL}(2,F)$. En el segundo caso, el centralizador contiene todos escalar de matrices, por lo que el factor determinante es arbitraria aquí.
Ludolila
Puntos
2079
Gran pregunta! Aquí están algunas ideas: En primer lugar, si el campo es cerrado bajo las raíces cuadradas (como $\mathbb{C}$), Bill ya dio una gran respuesta.
¿Qué acerca de la $\mathbb{R}$? Por ejemplo, $ A= \left[ \begin{array}{ c c } 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] $ and $(- )$ are conjugated in $GL_2(\mathbb{R})$ but not in $SL_2(\mathbb{R})$. Indeed, a simple check shows that if $PAP^{-1}=-$ then $\det P<0$.
Otra observación: incluso si para dos matrices $A,B\in SL_2(\mathbb{R})$ tenemos $P\in GL_2(\mathbb{R})$ tal que $PAP^{-1}=B$$\det P<0$, lo que no significa que ellos no están conjugados en $SL_2(\mathbb{R})$ por una diferente de la matriz. Por ejemplo: $A= \left[ \begin{array}{ c c } 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array} \right] $, $B= \left[ \begin{array}{ c c } \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right] $, and $P= \left[ \begin{array}{ c c } 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{array} \right] $ . We can still find $P' \en SL_2(\mathbb{R})$ that conjugates $$ and $B$.
Entonces, ¿qué salió mal en el primer ejemplo? Quizás tiene algo que ver con el hecho de que $ a= \left[ \begin{array}{ c c } 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right] $ has a characteristic polynomial which is irreducible over $\mathbb{R}$?
