¿Por qué las matrices definidas positivas tienen que ser simétricas?

Question

Las definiciones de definitividad positiva suelen tener este aspecto:

Una matriz simétrica $M$ es positiva definida si $x^T M x > 0$ para todos los vectores $x \neq 0$ .

¿Por qué $M$ ser simétrico? La definición parece tener sentido para matrices cuadradas generales.

Answer 1

Sea la forma cuadrática $f$ se define por

$$f (\mathrm x) := \mathrm x^\top \mathrm A \,\mathrm x$$

donde $\mathrm A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . Desde $\mathrm x^\top \mathrm A \,\mathrm x$ est un escalar entonces $(\mathrm x^\top \mathrm A \,\mathrm x)^\top = \mathrm x^\top \mathrm A \,\mathrm x$ es decir, $\mathrm x^\top \mathrm A^\top \mathrm x = \mathrm x^\top \mathrm A \,\mathrm x$ . Por lo tanto,

$$\mathrm x^\top \left(\frac{\mathrm A - \mathrm A^\top}{2}\right) \mathrm x = 0$$

Así, el sesgo-simétrico parte de la matriz $\mathrm A$ no aporta nada a la forma cuadrática. Lo que queda es, pues, la simétrico pieza

$$\frac{\mathrm A + \mathrm A^\top}{2}$$

que es diagonalizable y tiene real valores propios y vectores propios ortogonales, todas ellas buenas propiedades.

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Anexo

En afín combinaciones de $\mathrm A$ y $\mathrm A^\top$ obtenemos

$$\mathrm x^\top (\gamma \mathrm A + (1-\gamma) \mathrm A^\top) \mathrm x = f (\mathrm x)$$

que da como resultado $f$ para todos $\gamma \in \mathbb{R}$ . Elegir $\gamma = \frac{1}{2}$ obtenemos la parte simétrica de $\mathrm A$ .

Answer 2

Las matrices definidas positivas no tienen por qué ser simétricas, pero es bastante habitual añadir esta restricción en ejemplos y preguntas de ejercicios.

Aunque esta restricción pueda parecer un poco severa, hay varias de aplicaciones importantes, que incluyen algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales y algunas clases de problemas de mínimos cuadrados. La ventaja de esta restricción es que el número de operaciones para hacer la eliminación de Gauss se puede reducir a la mitad.

Quizá le interese leer esta pregunta anterior sobre matrices positivas definidas no simétricas: ¿Tiene la matriz positiva definida no simétrica valores propios positivos?