Filas de matriz ortogonal de una base ortonormal de $R^n$

Question

La cuestión es:

Sea $U$ ser un $n \times n$ matriz ortogonal. Demostrar que las filas de U forman una base ortonormal de $\mathbb R ^n $ .

Hasta ahora he declarado: Desde $U$ es ortogonal sus vectores columna son linealmente independientes y por el teorema de la matriz invertible $U$ es invertible y $U^T$ es invertible.

Sé que tengo que demostrar de alguna manera que $U^T U=I$ pero no sé cómo llegar desde donde lo dejé.

Answer 1

Pista: Esto es largo (y se puede acortar mucho), pero creo que será un buen aprendizaje para ti hacerlo largo. Se hizo tan largo, porque empezamos con la forma en que usted ha entendido matrices ortogonales (como se ve en los comentarios). Lo reproduzco aquí " Un conjunto es ortogonal si cada par de vectores distintos que lo componen son ortogonales entre sí. Una matriz ortogonal es una matriz cuyos vectores columna forman un conjunto ortogonal ". Esta es, de hecho, una de las muchas formas equivalentes de definir una matriz ortogonal. Empezaremos con esta definición sin ningún otro supuesto.

Denotaremos individualmente tanto las columnas como las filas de $U$ . Que las columnas de $U$ viene dada por $N\times 1$ vectores, $c_1,\dots,c_N$ . Sean sus filas las siguientes $N\times 1$ vectores $r_1,\dots,r_N$ . Así que tienes $$U=[c_1|\dots|c_N]$$ y $$U=\begin{bmatrix}r_1^T \\ \vdots \\ r_N^T \end{bmatrix}$$

(fíjate en que he utilizado la transposición). Ahora observa que $$A=U^TU$$ puede considerarse como una matriz cuya $(i,j)$ es la siguiente $$A_{ij}=c_i^Tc_j$$ Del mismo modo $$B=UU^T$$ es una matriz cuyo $(i,j)$ es la siguiente $$B_{ij}=r_i^Tr_j$$

Ahora fíjate en lo siguiente

• pruebe $U^TU=A=I$ (¿por qué?)
• utilizar el hecho de que $rank{(PQ)}\leq \min\{rank(P),rank(Q)\}$ para argumentar que $U$ y $U^T$ son invertibles. $P$ y $Q$ son cualesquiera $N\times N$ matrices. Sustituya $P$ y $Q$ con matrices adecuadas.
• Utiliza los dos hechos anteriores para demostrar que $U^{-1}=U^T$ . Pista: Quizás una multiplicación por la derecha en el LHS del primer hecho con una matriz adecuada.
• Utilice el hecho anterior para demostrar $UU^T=I$ . Sugerencia: Para ello también es necesario que si $P$ son $Q$ son inversas entre sí $PQ=I$ y $QP=I$
• Utilizando el hecho anterior y la definición de $B$ mira $r_i^Tr_j$