Utilización de una sustitución para un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales

Question

Estaba trabajando algunos problemas cuando me preparaba para mi examen de ecuaciones diferenciales y me encontré con este. Dice:

Dados los dos sistemas: $$\begin{cases}x'(x,y) = y+x(x^2+y^2) \\ y'(x,y) = -x+y(x^2+y^2) \end{cases}$$ y $$\begin{cases}x'(x,y) = y-x(x^2+y^2) \\ y'(x,y) = -x-y(x^2+y^2) \end{cases}$$ Linealice esta ecuación y encuentre la naturaleza del punto crítico $(0,0)$ . Esto no fue un problema, ya que calculé los jacobianos y hallé los valores propios. Mi problema surgió en la segunda y tercera parte de la pregunta. Se pide hacer una transformación a $r$ con $r^2 = x^2 + y^2$ . Demuestre que $r'<0$ y que $\lim_{t \rightarrow +\infty}r(t) = 0$ para el segundo sistema de ecuaciones. ¿Qué podemos decir del punto $0$ .

Al mirar por primera vez la transformación, me llamaron la atención las coordenadas polares, pero no sé si es correcto ni cómo aplicarlo. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Tomando la derivada de ambos lados de la identidad $r(t)^2 = x(t)^2 + y(t)^2$ obtienes $2 r(t) r'(t) = 2 x(t) x'(t) + 2 y(t) y'(t)$ . Por lo tanto (para $r>0$ ) tiene $$r' = \frac{xx'+yy'}{r} = \cdots$$