Sea $(\Omega,\mathscr F)$ sea un espacio medible y $\mathscr G\subseteq\mathscr F$ a $\sigma$ -subálgebra de $\mathscr F$ . Sea $(Y,\mathscr Y)$ sea otro espacio medible. Supongamos que $f:\Omega\times Y\to\mathbb R$ es una función de valor real medible respecto al producto $\sigma$ -álgebra $\mathscr F\otimes\mathscr Y$ (donde $\mathbb R$ está dotada de la $\sigma$ -álgebra). Por último, supongamos que $g:\Omega\to Y$ est un $\mathscr G/\mathscr Y$ - función medible (nótese que $\mathscr G$ est le $\sigma$ -subálgebra aquí).
Consideremos ahora la siguiente asignación de funciones anidadas de $\Omega$ a $\mathbb R$ : \begin{align*} \omega\mapsto f(\omega,g(\omega)) \end{align*}
Me pregunto si esta función anidada puede aproximarse mediante funciones simples de tipo de la siguiente forma: \begin{align*} f(\omega,g(\omega))\approx\sum_{i=1}^n I_{G_i}(\omega)f(\omega,y_i)\quad\text{for each $\omega\in\Omega$,}\tag{$*$} \end{align*} donde
- $n$ es un número entero positivo;
- $y_1,\ldots,y_n$ son elementos del conjunto $Y$ ;
- $G_1,\ldots, G_n$ son conjuntos disjuntos en $\mathscr G$ cuya unión es $\Omega$ y
- $I_{G_i}$ es la función indicadora de $G_i$ para cada $i\in\{1,\ldots,n\}$ .
El " $\approx$ " en ( $*$ ) es en el sentido habitual: existe una secuencia de funciones de la forma del lado derecho que convergen puntualmente (para cada $\omega\in\Omega$ ) a la izquierda.
Obsérvese que ninguna estructura topológica sobre $(Y,\mathscr Y)$ se supone.
Cualquier sugerencia o referencia a una prueba o contraejemplo sería muy apreciada.
ACTUALIZACIÓN: La conjetura original es falsa (véase más abajo), así que voy a refinarla de la siguiente manera. Sea $\mathbb P$ sea una medida de probabilidad sobre $(\Omega,\mathscr F)$ y supongamos que $f$ está limitada.
¿Puede el integral de $\omega\mapsto f(\omega,g(\omega))$ se aproximará mediante integrales de funciones de la forma del lado derecho de ( $*$ )?
Más concretamente, dejemos que \begin{align*} \mathcal H\equiv\{h:\Omega\to\mathbb R\mid&\bullet h(\omega)=\sum_{i=1}^nI_{G_i}(\omega)f(\omega,y_i)\text{ for each $\omega\in\Omega$},\\ &\bullet n\in\mathbb N,\\ &\bullet y_1,\ldots,y_n\in Y,\\ &\bullet \text{$G_1,\ldots, G_n$ are disjoint sets in $\mathscr G$ whose union is $\Omega$}\}. \end{align*} ¿Existe una secuencia $(h_m)_{m\in\mathbb N}$ en $\mathcal H$ tal que \begin{align*} \lim_{m\to\infty}\left\{\int_{\Omega}h_m(\omega)\,\mathrm d\mathbb P(\omega)\right\}=\int_{\Omega}f(\omega,g(\omega))\,\mathrm d\mathbb P(\omega)? \end{align*}
Mi corazonada (y esperanza, de hecho) es que algún tipo de argumento de contabilidad debido a la ( $\sigma$ -)finitud de $\mathbb P$ puede hacer la aproximación para al menos integrales trabajo.
Para ver por qué la aproximación puntual no funciona, dejemos que $(\Omega,\mathscr F)$ y $(Y,\mathscr Y)$ tanto ser $\mathbb R$ dotado de la discreta $\sigma$ -álgebra y $\mathscr G=\mathscr F$ . Sea $g$ sea la función identidad y $f$ la función indicadora de la diagonal $$D\equiv\{(x,x)\,|\,x\in\mathbb R\}.$$ Obsérvese que la diagonal es $\mathscr F\otimes\mathscr F$ -medible, ya que es de la forma $$D=\bigcap_{m\in\mathbb N}\bigcup_{q\in\mathbb Q}\left[q-\frac{1}{m},q+\frac{1}{m}\right]\times\left[q-\frac{1}{m},q+\frac{1}{m}\right].$$ Entonces, $$f(\omega,g(\omega))=1\quad\text{for each $ \omega\in\mathbb R $}.$$ Para cualquier secuencia $(h_m)_{m\in\mathbb N}$ de funciones en $\mathcal H$ , dejemos que $\widetilde Y$ denotan la unión de todas las $y_i$ que aparecen en la definición del $h_m$ 's. Entonces, $\widetilde Y$ es una unión contable de conjuntos finitos, por lo que es contable. Tomando $\widetilde\omega\in\mathbb R\setminus\widetilde Y$ se puede ver que $h_m(\widetilde\omega)=0$ para cada $m\in\mathbb N$ por lo que la convergencia puntual falla en $\widetilde\omega$ .
