Problema de comprobación de la solución de una oda

Question

Estoy haciendo un ejercicio, en el que se pide demostrar que dada una función continua $f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ entonces

$$y(x):=\alpha+\int_{0}^x f(t)\sin(x-t) dt$$

es la solución particular de $y''+y=f$ verificando $y(0)=\alpha$ y $y'(0)=0$

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Lo que tengo

Es evidente que $y(0)=\alpha$ . Usando ese $\sin(x-t)=\sin(x)\cos(t)-\cos(x)\sin(t)$ y utilizando la diferenciación bajo signo integral, tengo

$$y'(x)=\cos(x)\int_0^x f(t)\cos(t)dt+\sin(x)\int_0^xf(t)\sin(t)dt$$

y sustituyendo $x=0$ obtenemos $y'(0)=0$ .

Sin embargo, aquí está mi problema. Cuando calculo $y''$ y escribo $y''+y$ después de las cancelaciones, obtengo

$$y''+y=f+\alpha$$

(Que $\alpha$ procedente de $y$ no desaparece). ¿Qué estoy haciendo mal?

¡¡Gracias!!

Answer 1

La afirmación es errónea.

Si $f(x)=0 \forall x$ entonces se obtiene $$y(x)= \alpha$$ que NO es una solución para $$y''+y= f$$ para $\alpha \neq 0$ .

Tenga en cuenta también que si mantienes $f$ sin cambios, en la igualdad $$y''+y=f$$ el LHS cambia al cambiar $\alpha$ pero el RHS no.

Basta con ver la igualdad $y''+y=f$ para dos valores distintos de $\alpha$ y lo mismo $f$ verás que ambos no pueden sostenerse.