vector propio generalizado para resolver un sistema de EDO (matriz exponencial)

Question

Para una matriz de 4x4, A, con un problema de valor inicial

x' \=A x , x (0) = ₀

donde ₀ R 4 es un vector tal que (A 3I) 3 ₀ \= 0

pero ₁ \= (A 3I) ₀ $\neq$ 0 y 2 = (A 3I) 2 ₀ $\neq$ 0.

Realizar el cambio de variable x \= e 3t y y obtener una ecuación y' \= B y (encontrar B).

A continuación, resuelva el problema de valor inicial y' \=B y , y (0) = ₀ representando a y en términos de ₀ , ₁ y ₂ . [Sugerencia: utilizar la matriz exponencial].

No tengo ni idea de cómo empezar pero he encontrado lo siguiente que parece relevante en mis notas:

Sea un valor propio de A. Algún vector = 0 es un vector propio generalizado correspondiente a si (AI) m \= 0 para algún número entero m1. El m más pequeño para el que esto se cumple (de modo que(AI) m-1 $\neq$ 0 pero (AI) m \= 0) se denomina rango de .

Agradecería cualquier orientación o enlace a problemas similares en los que pudiera entender el planteamiento para resolver esta cuestión.

Answer 1

Tenemos

$\mathbf x = e^{3t} \mathbf y, \tag 1$

de donde

$\mathbf x' = 3e^{3t} \mathbf y + e^{3t}\mathbf y'; \tag 2$

combinamos (2) con

$\mathbf x' = A\mathbf x, \tag 3$

y obtener

$3e^{3t} \mathbf y + e^{3t}\mathbf y' = A\mathbf x; \tag 4$

vía (1),

$3e^{3t} \mathbf y + e^{3t}\mathbf y' = A e^{3t} \mathbf y = e^{3t} A\mathbf y; \tag 5$

así,

$3 \mathbf y+ \mathbf y' = A\mathbf y, \tag 6$

o

$\mathbf y' = A\mathbf y - 3\mathbf y = A\mathbf y - 3 I \mathbf y = (A - 3I)\mathbf y; \tag 7$

configure

$B = A - 3I; \tag 8$

entonces

$\mathbf y' = B\mathbf y; \tag 9$

la solución de esta ecuación con

$\mathbf y(0) = \xi_0 \tag{10}$

es

$\mathbf y(t) = e^{Bt} \xi_0 = e^{(A - 3I)t}\xi_0; \tag{11}$

utilizamos el $(A - 3I)^i\xi_0$ , $1 \le i \le 3$ para calcular $e^{(A - 3I)t}\xi_0$ :

$\mathbf y(t) = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{(A - 3I)^j t^j}{j!} \xi_0$ $= \xi_0 + t (A - 3I) \xi_0 + \dfrac{1}{2} t^2 (A - 3I)^2 \xi, \tag{12}$

donde los términos de orden superior desaparecen ya que

$(A - 3I)^3 \xi_0 = 0 \tag{13}$

implica

$(A - 3I)^j \xi_0 = (A - 3I)^{j - 3} (A - 3I)^3 \xi_0 = 0, \; \forall j \ge 3; \tag{14}$

así, a la luz de

$(A - 3I)^j \xi_0 = \xi_j, \; j = 1, 2, \tag{15}$

(12) se convierte en

$\mathbf y(t) = \displaystyle \sum_0^\infty \dfrac{(A - 3I)^j t^j}{j!} \xi_0 = \xi_0 + t \xi_1 + \dfrac{1}{2} t^2 \xi_2, \tag{16}$

la solución buscada.