¿A qué valor converge esta suma? $\sum_{r=o}^{n}{\frac{\binom{n-1}{r}r!}{n^{r+1}}}$

Question

Había estado intentando resolver ( Probabilidad de sacar un 1 antes de sacar dos 2, tres 3, etc. ) este problema durante bastante tiempo y creo que había encontrado alguna manera de avanzar, pero me parece que no puedo encontrar el cerrado de para la suma que terminé en. La suma es:

$$\frac{1}{n}\sum_{r=o}^{n-1}{\frac{\binom{n-1}{r}r!}{n^{r}}}$$

Tampoco he podido llegar a límites dignos para los que la suma converja a un valor determinado(aunque sí converge como se comenta en el post original) mediante el uso del teorema de squeeze.

También WolframAlpha%7D%20r%3D0%20to%20n-1)) da la suma como

$$\frac{1}{n}\sum_{r=o}^{n-1}{\frac{\binom{n-1}{r}r!}{n^{r}}}=\left({\dfrac{e}{n}}\right)^n\Gamma(n,n)$$

Editar:- No sé cómo manejar el $\Gamma(n,n)$ y eso es en lo que necesito ayuda que se me olvidó mencionar y además era el objetivo del post.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{r = 0}^{n - 1}{{n - 1 \choose r}r! \over n^{r + 1}} & = \sum_{r = 0}^{n - 1}{n - 1 \choose r}\ \overbrace{\int_{0}^{\infty}t^{r}\expo{-nt}\,\dd t}^{\ds{r! \over n^{r + 1}}} = \int_{0}^{\infty}\expo{-nt}\sum_{r = 0}^{n - 1}{n - 1 \choose r}t^{r}\,\dd t \\[5mm] & = \int_{0}^{\infty}\expo{-nt}\pars{1 + t}^{n - 1}\,\dd t = \expo{n}\int_{1}^{\infty}t^{n - 1}\expo{-nt}\,\dd t = \expo{n}n^{-n}\ \overbrace{\int_{n}^{\infty}t^{n - 1}\expo{-t}\,\dd t}^{\ds{\Gamma\pars{n,n}}} \\[5mm] & = \bbx{\pars{\expo{} \over n}^{n}\,\Gamma\pars{n,n}} \end{align}

En dos argumentos $\ds{\Gamma}$ es el Función gamma incompleta .

Answer 2

Como escribí en los comentarios $$S_n=\frac{1}{n}\sum_{r=o}^{n-1}{\frac{\binom{n-1}{r}r!}{n^{r}}}=\left(\frac e n \right)^n \,\Gamma(n,n)$$ Si echa un vistazo ici (fórmula $8.11.12$ ), encontrará una expansión en serie para $\Gamma(n,n)$ . Utilizándolo, debería obtener $$S_n=\sqrt{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{ n^{1/2}}}-\frac{1}{3 n}+ \sqrt{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{12n^{3/2}}-\frac{4}{135 n^2}+ \sqrt{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{288n^{5/2}}+\frac{8}{2835 n^3}+O\left(\frac{1}{n^{7/2}}\right)$$ que parece ser muy preciso incluso a partir de valores pequeños de $n$ como se indica en el cuadro siguiente $$\left( \begin{array}{ccc} n & \text{exact} & \text{approximation} \\ 1 & 1.00000 & 1.00197 \\ 2 & 0.75000 & 0.75020 \\ 3 & 0.62963 & 0.62968 \\ 4 & 0.55469 & 0.55471 \\ 5 & 0.50208 & 0.50209 \\ 6 & 0.46245 & 0.46245 \\ 7 & 0.43116 & 0.43117 \\ 8 & 0.40563 & 0.40563 \\ 9 & 0.38426 & 0.38426 \\ 10 & 0.36602 & 0.36602 \end{array} \right)$$