Límites al infinito, funciones pares e Impares

Question

Tengo un par de preguntas relacionadas con un examen práctico que acabo de hacer, así que el tema puede variar un poco, pero la mayor parte tiene que ver con los límites.

1. $$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{7x+3x^2}{1-x^3} $$

Aparentemente esto es $-3$ , pero he leído en mi libro que si una función racional tiene un polinomio de orden superior en el denominador, que el límite siempre se convierte en $0$ . Si esto es falso, ¿cómo se supone que se evalúa este límite?

2. $$ \lim_{x \to 1+} \dfrac{7x+3x^2}{1-x^3} $$

Es que no tengo ni idea de cómo hacerlo, los límites derecho e izquierdo me resultan muy difíciles a no ser que tenga el gráfico.

3. $g(x) = f(x) - f(-x)$ y $h(x) = f(x) + f(-x)$ . ¿Cuál es la paridad de $g$ y $h$ . $f$ es una función con dominio $\mathbb{R}$ .

¿Cómo se supone que vas a hacer esto sin saber la paridad de $f$ ?

4. $$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x-\sqrt{x^2+ax+b}} $$

$a,b \in \mathbb{R}$ con $a\neq 0$ .

Todavía no he trabajado con 2 variables, así que agradecería una buena táctica aquí.

Answer 1

Para el primer problema, el límite es efectivamente $0$ .

Para el segundo problema, imagine que $x$ es un poco más grande que $1$ . ¿Qué puede decir sobre $1-x^3$ ? ¿Qué pasa con $\frac{7x+3x^2}{1-x^3}$ ? Debería estar claro, pero si no lo está, utiliza tu calculadora con $x=1.00001$ .

Para el tercer problema, hagamos la mitad, mostrando que $h$ es par. Tenemos $$h(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=h(x).$$

Para el cuarto problema, multiplica arriba y abajo por $x+\sqrt{x^2+ax+b}$ .

Answer 2

Estos son los pasos para el primer problema $$ \lim_{x \to \infty} \frac{7x+3x^2}{1-x^3}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7x}{x^2}+\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-\frac{x^3}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{x}+3}{\frac{1}{x^2}-x}=\frac{\frac{7}{\infty}+3}{\frac{1}{\infty}-\infty}=-\frac{3}{\infty}=0 $$ Para el segundo problema, tenemos $$ \lim_{x \to 1+} \frac{7x+3x^2}{1-x^3} $$ Desde $1 \lt x^3$ como $x\to 1$ desde la derecha, entonces el denominador es negativo. Esta expresión también tiene una asíntota vertical en $x=1$ Por lo tanto $$ \lim_{x \to 1+} \frac{7x+3x^2}{1-x^3}=-\infty $$ Dale una oportunidad a los demás y no dudes en hacer preguntas.