Puede $n^2+4n$ ser un cuadrado perfecto?

Question

¿Existen enteros positivos $n,k$ tal que $n^2+4n=k^2$? No estoy seguro de cómo atacar a esta pregunta. Yo era capaz de conseguir que $n=\frac{-4\pm\sqrt{16+4k^2}}{2}$, pero no creo que sea de alguna utilidad.

Answer 1

Claramente el número es mayor que $n^2$, por lo que el cuadrado más pequeño podría ser es $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \neq n^2 + 4n$ porque $2n +1\neq 4n $$n \in \mathbb N$.

El siguiente cuadrado es$(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$, que es más grande que nuestro número.

Así que en conclusión no, $n^2 + 4n$ nunca es un cuadrado perfecto

Answer 2

SUGERENCIA: Recordar que

$$(n+2)^2=n^2+4n+4$$

Answer 3

Tenemos

$$ n^2 < n^2+4n < (n+2)^2 $$

Así que si $n^2+4n$ es un cuadrado, debemos tener la $n^2+4n=(n+1)^2$. Pero este rápidamente conduce a la ecuación de $2n=1$, lo cual es imposible.

Answer 4

Nota: primero que no existen enteros entre ninguno de los otros dos números enteros.

Ahora tenga en cuenta que $n^2+4n+4 = (n+2)^2$ significado $n^2+4n = (n+2)^2-4$.

Por lo suficientemente grande como $n$ esto puede ser acotada entre dos cuadrados consecutivos, así que sólo tienes que probar estos límites y demostrar pequeño $n$ la especifica relación se mantiene.

Answer 5

Suponga $n^2+4n = k^2 \Rightarrow n(n+4) = k^2$. Hay $2$ de los casos:

Caso 1: $ n = m^2, n+4=p^2$, mientras que de $mp = k \Rightarrow 4 = p^2-m^2 = (p-m)(p+m)$, y usted puede tomar desde aquí

Caso 2: $n = a, n+4 = ap^2$, mientras que de $ap = k \Rightarrow 4 = a(p^2-1) = a(p-1)(p+1)$, y también se puede tomar desde aquí.