Cuando tienes una afirmación que sabes que es incorrecta, pero crees que tienes una prueba, siempre es buena idea ver qué ocurre cuando aplicas tu prueba a un contraejemplo explícito. De este modo, deberías ser capaz de encontrar el error o el concepto erróneo.
En este caso, uno de los contraejemplos más fáciles es $f(z) = \overline{z}$ (el conjugado complejo). Tomemos el triángulo como eje real de $0$ a $1$ la línea diagonal de $1$ a $i$ y luego el eje imaginario de $i$ a $0$ . La integral debe tener un valor igual a $i$ (si no he calculado mal), en lugar de $0$ . Ahora intenta ver dónde se equivoca tu argumento.
Añadido: para este tipo de preguntas, es útil pensar en la copia de dominio de $\mathbb C$ como $\mathbb R^2$ (por lo que depende de dos parámetros), pero el copia de destino de $\mathbb C$ como simplemente ser $\mathbb C$ un campo de escalares.
En otras palabras, pensamos en funciones de valor complejo de dos variables reales.
Ahora solemos trabajar en términos de $\partial_x$ y $\partial_y$ al estudiar funciones en $\mathbb R^2$ pero cuando las funciones son de valor complejo, podemos trabajar en términos de $\partial_z := \dfrac{1}{2}(\partial_x - i \partial_y)$ y $\partial_{\overline{z}} := \dfrac{1}{2}(\partial_x + i \partial_y).$
Si $F$ es cualquier función (suficientemente diferenciable), y $\gamma$ es un camino entre dos números complejos $a$ y $b$ encontramos entonces que $$\int_{\gamma} \partial_z F(z) d z + \int_{\gamma} \partial_{\overline{z}} F(z) d\overline{z} = F(b) - F(a).$$ Puede comprobarlo usted mismo; se trata simplemente de una reescritura del (probablemente) más familiar conocida $$ \int_{\gamma} \partial_x F(z) dx + \int_{\gamma} \partial_y F(z) dy = F(b) - F(a).$$
Cuando se busca una "primitiva" para calcular una integral de línea $\int_{\gamma} f(z) dz,$ entonces, lo que usted está tratando de hacer es escribir $f(z)$ como $\partial_z F(z)$ para algunos $F(z)$ que satisface $\partial_{\overline{z}} F = 0$ idénticamente, y luego aplicar la fórmula anterior.
Esto no siempre es posible, como tampoco lo es escribir siempre una función de dos variables como $\partial_x$ de alguna función cuyo $\partial_y$ desaparece.
De hecho, las ecuaciones de Cauchy--Riemann pueden expresarse diciendo que $\partial_{\overline{z}} F = 0$ en cada punto. Puede comprobar además que, para una función holomorfa, $\partial_z$ no es más que la derivada compleja habitual.
Así que si usted puede encontrar un "primitivo" $F$ para $f$ como arriba, entonces $F$ es holomorfa y, por tanto, también lo es $f$ (siendo la derivada de una función holomorfa). Así que se puede encontrar una primitiva, y por lo tanto obtener integral cero, precisamente en el caso holomorfo.
La discusión es quizá más fácil si se expresa en términos de formas diferenciales, si conoces ese lenguaje. Entonces tenemos la fórmula, para funciones suaves sobre $\mathbb R^2$ :
$$\int_{\gamma} dF = F(b) - F(a)$$ (la forma unidimensional del teorema de Stokes, que supongo que clásicamente no es más que el teorema fundamental del cálculo), y podemos escribir $dF$ ya sea como $\partial_x F dx + \partial_y F dy,$ o en su lugar como $\partial_z F dz + \partial_{\overline{z}}F d\overline{z}$ . (Sólo es cuestión de elegir $dz$ y $d\overline{z}$ como base para las formas únicas complejizadas, en lugar de $dx$ y $dy$ .)
También tenemos la fórmula, para una curva cerrada $\gamma$ delimitación de una región $\Delta$ , que $$\int_{\gamma} f dz = \int_{\Delta} d(f dz) = \int_{\Delta} \partial_{\overline{z}} f d\overline{z} \wedge dz$$ (la forma bidimensional del teorema de Stokes, supongo que conocido clásicamente como teorema de Green en el plano). Ahora se calcula $d \overline{z} \wedge dz = 2i dx \wedge dy,$ por lo que encontramos que $$\int_{\gamma} f dz = 2i \int_{\Delta} \partial_{\overline{z}} f dx \wedge dy,$$ donde $dx \wedge dy$ es la forma de área habitual.
Si $f$ es holomorfa, entonces $\partial_{\overline{z}} f = 0,$ y así esta integral desaparece. Pero si por ejemplo $f = \overline{z}$ entonces derivada parcial es igual a $1$ así que sólo estamos computando $2i$ veces el superficie de $\Delta$ . (Esta es una forma de obtener la respuesta de $i$ para la integral de línea alrededor de un triángulo que describí anteriormente).
