Tengo una buena manera de encontrar $C$ :
Como en la pregunta, la desigualdad es válida $\forall \ n \ge 2,$ por qué no encontrar $C$ para el caso en que $n=2.$
Entonces nuestra desigualdad se convierte en $\displaystyle (x_1 = x , x_2 =y) $ :
$$\displaystyle xy(x^2+y^2) \le C(x+y)^4 $$
Supongamos que $x+y = 1$ entonces nos queda demostrar que $\displaystyle xy(x^2+y^2) \le C$ para algún valor de C, o en otras palabras, encontrar máximos de $\displaystyle xy(x^2+y^2) .$
Ahora con Lagrangiano Multilpier:
$$ \displaystyle \mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y) \\ \text{where} \ f(x,y) = xy(x^2+y^2) \ \text{is the objective function to maximize}\\ \text{where} \ g(x,y) = x + y \ \text{is the constraint function } \\ $$
Por lo tanto, resolvemos para $\displaystyle \nabla \mathcal{L}(x,y,\lambda) = 0$ obtenemos:
$ \displaystyle x^3 + 3y^2x - \lambda = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ .....(1) \\ y^3 + 3x^2y - \lambda = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ .....(2) \\ $
Caso $1:$
Ecuación de resta $(1)$ de la ecuación $(2)$ da $x=y,$ como único caso posible. Así que $x=y=0.5$ para satisfacer la restricción $g(x,y)$
Así $\displaystyle f(x,y) = 0.125 $ y como en este punto $\nabla ^2 f(x,y) \ge 0 $ es una maxima.
Por lo tanto
$$\displaystyle xy(x^2+y^2) \le 0.125 \implies C = 0.125 $$
Caso $2:$
Sustituya el valor de $x$ de $(2)$ en $(1)$ simplificarlo para obtener una eqaución en $y$ y $\lambda$ :
$$\displaystyle 100z^3 -120z^2 +48z -1 = 0 \\ \text{where} \ y^3 = \lambda z $$
Aquí $z = 0.022024 $ es una solución real, usando esto podemos decir: $ y \approx 0.28 \lambda^{1/3}$
A partir de este valor de $y$ obtenemos $x \approx 0.57 \lambda^{1/3}$ y luego usando la conatraint obtenemos : $ \lambda^{1/3} \approx 1.7647 \implies \lambda \approx 1.628 .$
Por lo tanto, a partir de aquí obtenemos otro conjunto de soluciones $\displaystyle \mathcal{L}(0.67,0.329,1.628)$ . Por lo tanto $f(x,y) = 0.1233$
Así,
$$\displaystyle xy(x^2+y^2) \le 0.1233 \implies C = 0.1233 $$
Hay que tener en cuenta que ambos valores son casi iguales, por lo que concluimos que $C = 0.125$ .
EDITAR:
Como señala @TheBestMagician en el comentario, he añadido una versión generalizada:
Busquemos una función objetivo de carácter general $x_k \ \text{s.t.} \ 1 \le k \le n.$ $$\displaystyle f(x_k) = \sum_{i=1}^{k-1} x_k x_i (x_k^2 + x_i^2) + \sum_{i=k+1}^{n} x_k x_j (x_k^2 + x_j^2) = - 2x^4 + \sum_{i=1}^{n} x_k x_i (x_k^2 + x_i^2) $$
Ahora definiremos algunos sumandos :
$$\displaystyle S = \sum_{i=1}^{n} x_i \ \text{and} \ S_k = S - x_k \\ S^3 = \sum_{i=1}^{n} x^3_i \ \text{and} \ S^3_k = S^3 - x^3_k $$
Por lo tanto ahora podemos modificar nuestra función objetivo en:
$$\displaystyle f(x_k) = S_k x^3_k + S^3_k x_k. \\ g(x) = S = \sum_{i=1}^{n} x_i \\ \text{constraint: } g(x) = 1 $$
A continuación, aplicar el multiplicador de Lagrange,
$\displaystyle f'(x_{k-1})=f'(x_k) = f'(x_{k+1}) = \lambda .$ A continuación, podemos restar las funciones.
Dónde, $\displaystyle f'(x_k) = 3(S_k)x^2_k + S^3_k = 3(S-x_k)x^2_k + S^3- x^3_k $
$$\displaystyle f'(x_k) - f'(x_{k-1}) = 0 = 3(S-x_k)x^2_k + S^3- x^3_k - [3(S-x_{k-1}k)x^2_{k-1} + S^3- x^3_{k-1}] \\ \implies 3S = 4\frac { x^3_k - x^3_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}}$$
Supongamos que $x_k \ne x_{k-1} $ e implican otra variable $x_{k+1}$ en la escena como:
$$\displaystyle f'(x_{k+1}) - f'(x_k) \implies 3S = 4\frac { x^3_k - x^3_{k+1}}{x^2_k - x^2_{k+1}}$$
Del mismo modo, supongamos $x_k \ne x_{k+1} $ y equiparar ambos $S$ valores.
$$\displaystyle \frac { x^3_k - x^3_{k+1}}{x^2_k - x^2_{k+1}} = \frac { x^3_k - x^3_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} \\ \text{simplify to get} \ x_{k} = -\frac{x_{k+1}x_{k-1}}{x_{k+1}+x_{k-1}} \ \text{assuming} \ x_{k-1} \ne x_{k+1} \ $$
Pero aquí $x_{k-1},x_k,x_{k+1} \ge 0 $ según el dominio. Pero esto contradice la afirmación anterior, por lo que tenemos que estar de acuerdo en $x_{k-1} = x_{k+1} \forall \ 1 \le k \le n $ .
Caso A:
Suponiendo que $\displaystyle x_k = x_{k-1} = x_{k+1}$ .
Utilizar la restricción $g(x) = 1 $ obtenemos $\displaystyle x_1 = x_2 = ... = x_n = \frac{1}{n} $
Por lo tanto $\displaystyle F:\{x_1,...,x_n\} \rightarrow \mathbb{R} = \sum_{1\le i < j \le n} x_i x_j (x_i^2 + x_j^2) =\frac{2}{n^4} \sum_{1\le i < j \le n} 1 = \frac{2}{n^4} \times \frac{n(n-1)}{2}.$ Por lo tanto
$$ \displaystyle F(x) \le \frac{n-1}{n^3} \implies C = \frac{n-1}{n^3} $$
Aquí vemos que $C $ depende de $n$ . Podemos comprobarlo, por $n=2$ para los casos anteriores que he comentado.
Ahora, para las condiciones de contorno la función actúa extrañamente y sigue aumentando sus máximos hasta que alcanza un máximo global en el contorno con sólo dos $x's$ no cero.
Concluimos $f(x)$ es siempre menor o igual que $\displaystyle \frac{1}{8} .$
