¿Cuál es la probabilidad de que 3 o más personas compartan un cumpleaños común, en un grupo de 160 personas?
Enfoque:
Tenemos:
$P(X\geq 3)= 1-[P(X=0)+P(X=2)]$.
(donde $X\geq i$ significa al menos $i$ personas comparten un cumpleaños común, mientras que $X=i$ significa exactamente $i$ personas comparten un cumpleaños común, mientras se considera la posibilidad de múltiples grupos de i personas que comparten un cumpleaños común, por ejemplo, el caso que implica las fechas de nacimiento A A B B C C D E F G se cuenta en $X=2$, A A B B B C C D E F no lo es.)
Los casos para $X=0$ y $X=2$ pueden abordarse juntos mediante el siguiente argumento:
Considera $x$ grupos de $2$ personas cada uno, es decir, $2x$ personas divididas en $x$ grupos de $2$. Hay ${160 \choose 2x}(2x)!/(2!)^x$ formas de crear dichos grupos. Ahora, solo tenemos que seleccionar $x$ fechas de entre $365$ y asignarlas a estos grupos, por lo que tenemos ${365\choose x}x!$ formas de hacer esto. Luego asignamos fechas a las $160-2x$ personas restantes, y quedan $365-x$ fechas. Entonces tenemos ${365-x \choose 160-2x}(160-2x)!$ formas de hacerlo.
El espacio muestral es $365^{160}$, y $x$ puede variar desde $0$ hasta $80$, ($x=0$ corresponde al caso en el que cada uno tiene un cumpleaños diferente), por lo que me parece que:
$$P(X=0)+P(X=2)=\sum_{x=0}^{80} \dfrac{{160 \choose 2x}(2x)!/(2!)^x*{365\choose x}x!*{365-x \choose 160-2x}(160-2x)!}{365^{160}}$$
Sin embargo, parece que algo ha salido mal con mi razonamiento, ya que Wolfram estima que esta suma es aproximadamente de $10^{61}$...
Esta expresión da los valores correctos para los casos triviales $x=0$ y $x=1$...y no parece haber ninguna ocurrencia de conteo doble con este tipo de enfoque..
¿Qué podría estar saliendo mal entonces?
Edit: He visto múltiples variaciones de la pregunta, y la mayoría de ellas utilizan la fórmula de Poisson para llegar a una estimación numérica....Sin embargo, más que encontrar la respuesta numérica correcta, me gustaría saber la falla en este enfoque particular mío.
