Raíz enésima anidada $\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+\cdots\sqrt{x^{n}+\cdots}}}$

Question

Estoy estudiando la $f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}}$ para $x \in (0,\infty)$ y estoy tratando de obtener una fórmula en forma cerrada para esto, o al menos alguna serie/expansión útil. ¿Alguna idea de cómo llegar allí?

Hasta ahora solo he obtenido valores triviales, que son $$f(1)=\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots\sqrt{1}}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$ $$f(4) = 3$$

El segundo sigue de $$2^n+1 = \sqrt{4^n+(2^{n+1}+1)} = \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+(2^{n+2}+1)}} = \sqrt{4^n+\sqrt{4^{n+1}+\cdots}}$$

He logrado calcular varias derivadas en $x_0=1$ usando la regla de la cadena de manera recursiva en $f_n(x) = \sqrt{x^n + f_{n+1}(x)}$, a saber:

\begin{align*} f^{(1)}(1) &= \frac{\sqrt{5}+1}{5}\\ f^{(2)}(1) &= -\frac{2\sqrt{5}}{25}\\ f^{(3)}(1) &= \frac{6\sqrt{5}-150}{625}\\ f^{(4)}(1) &= \frac{1464\sqrt{5}+5376}{3125}\\ \end{align*}

Estos me dieron la expansión de Taylor alrededor de $x_0=1$

\begin{align*} T_4(x) &= \frac{\sqrt{5}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}+1}{5} (x-1) - \frac{\sqrt{5}}{25} (x-1)^2 + \frac{6\sqrt{5}-150}{3750} (x-1)^3 \\ &\ \ \ \ \ + \frac{61\sqrt{5}+224}{3125} (x-1)^4 \end{align*}

Sin embargo, este enfoque parece ser útil solo muy cerca de $x=1$. Estoy buscando algo más general en términos de cualquier $x$, pero con mi arsenal limitado no pude avanzar mucho más que esto. ¿Alguna idea?

Esto fue inspirador pero se detuvo donde lo hice http://integralsandseries.prophpbb.com/topic168.html

Edit: Gracias por las respuestas, necesitaré revisarlas, parece que la idea principal es dividir por $\sqrt{2x}$, entonces obtengo $$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}}}{\sqrt{2x}} = \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16x}+\sqrt{\frac{1}{256x^4}+...}}}}$$ Luego hacer una expansión a partir de esto. Aquí es donde aún no entiendo cómo llegar desde esto hasta la expansión final.

Answer 1

Puedes obtener una expansión en potencias negativas de $x$, válida para valores grandes de $x$, intentando encontrar $$\frac{f(x)}{\sqrt{2x}}$$. Si sacas el término $\frac{1}{\sqrt{2x}}$ dentro de las raíces cuadradas (nota que se eleva a potencias cada vez mayores a medida que se saca en más raíces internas) obtienes una expansión de la forma $$f(x) = \sqrt{2x} + \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\kappa}{\sqrt{x}} + \cdots$$ donde el cálculo de $\kappa$ es sencillo pero un poco complicado (el valor que obtengo es $-\frac{3\sqrt{2}}{32}$ pero numéricamente parece ser alrededor de $-\frac{1}{18}$). Incluso la expresión de primer orden (sin el término $\frac{\kappa}{\sqrt{x}}$) ya es precisa con un error menor a $0.0052$ para todos los $x>4.

Answer 2

En el mismo espíritu que la respuesta de Mark Fischler, estableciendo $x=\frac{y^2}{2}$, para valores grandes de $x$, la expansión de Taylor es $$y+\frac{1}{4 \sqrt{2}}-\frac{5}{64}\frac{1}{y}+\frac{85}{256 \sqrt{2}}\frac{1}{y^2}-\frac{1709}{8192}\frac{1}{y^3}+\frac{6399}{32768 \sqrt{2}}\frac{1}{y^4}+O\left(\frac{1}{y^5}\right)$$ la cual convergería bastante rápido.

Answer 3

Para valores pequeños de $x$ y $n>4$,

$$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{3}+\ldots+\sqrt{x^{n}}}}}= x^{n/2^{n}}+\frac{1}{2}x^{1-n/2^{n}}+\frac{1}{8}x^{2-n/2^{n}}+\ldots$$

Así $$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{3}+\ldots}}} \approx 1+\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{8}$$

Para valores grandes de $x$,

$$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{3}+\ldots}}}= \sqrt{2x}+\frac{1}{4\sqrt{2}}-\frac{5}{64\sqrt{2x}}+\frac{85}{512x\sqrt{2}}-\ldots$$

Answer 4

Sea $$y = \sqrt{x+\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}}.$$ Entonces $$ y^2 = x + \sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}. $$ Divide ambos lados por $\sqrt{x}$ para obtener $$ \frac{y^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}}{\sqrt{x}} $$ Por lo tanto, $$ \frac{y^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{x^2+\cdots\sqrt{x^n+\cdots}}} = \sqrt{x} + y $$ Lo que implica que $$ y^2 = x + y\sqrt{x} $$ Resolviendo esta ecuación cuadrática y tomando la raíz positiva obtenemos $$ f(x) = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{5x}}{2} = \frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{5})}{2}. $$