Fait $\mu_n \overset{1}{\rightharpoonup} \mu$ implican necesariamente $\mu_n \overset{2}{\rightharpoonup} \mu$ ?

Question

Sea

• $X$ sea un espacio métrico,
• $\mathcal M(X)$ el espacio de todos los firmado Medidas de Borel en $X$ ,
• $\mathcal C_b(X)$ sea el espacio de las funciones continuas acotadas de valor real sobre $X$ y
• $\mathcal C_0(X)$ sea el espacio de las funciones continuas de valor real sobre $X$ que desaparecen en el infinito.

Entonces $\mathcal C_b(X)$ y $\mathcal C_0(X)$ son espacios reales de Banach con norma de supremacía $\|\cdot\|_\infty$ . Dotamos $\mathcal M(X)$ con la norma de variación total $[\cdot]$ . Entonces $(\mathcal M(X), [\cdot])$ es un espacio de Banach . Sea $\mathcal M(X)^* := (\mathcal M(X))^*$ y $\mathcal C_b(X)^* := (\mathcal C_b(X))^*$ sean los duales continuos. Sea $\mu_n,\mu \in \mathcal M(X)$ .

• Definimos el primer tipo de convergencia débil mediante $$ \mu_n \overset{1}{\rightharpoonup} \mu \overset{\text{def}}{\iff} \int_X f \mathrm d \mu_n \to \int_X f \mathrm d \mu \quad \forall f \in \mathcal C_b(X), $$ Sea $\sigma(\mathcal M(X), \mathcal C_b(X))$ sea la topología inducida por $\overset{1}{\rightharpoonup}$ .

• Definimos el segundo tipo de convergencia débil mediante $$ \mu_n \overset{2}{\rightharpoonup} \mu \overset{\text{def}}{\iff} \varphi(\mu_n) \to \varphi (\mu) \quad \forall \varphi \in \mathcal M(X)^*, $$ Sea $\sigma(\mathcal M(X), \mathcal M(X)^*)$ sea la topología inducida por $\overset{2}{\rightharpoonup}$ .

Entonces tenemos

Teorema: Si $\mu_n \overset{1}{\rightharpoonup} \mu$ entonces $\{[\mu_n] \mid n \in \mathbb N\}$ está limitada.

Prueba: Es bien sabido que $$ \mathcal M(X) \to \mathcal C_b(X)^*, \nu \mapsto \left (L_\nu :f \mapsto \int_X f \mathrm d \nu \right). $$ es una incrustación isométricamente isomórfica. Esto implica que $[\nu] = \|L_\nu\|$ . Por principio de acotación uniforme basta con demostrar que $(L_{\mu_n} (f))_n$ está acotada para cada $f \in \mathcal C_b(X)$ . Esto es cierto porque $L_{\mu_n} (f) \to L_{\mu} (f)$ para cada $f \in \mathcal C_b(X)$ . Esto completa la prueba.

Mi pregunta:

Fait $\mu_n \overset{1}{\rightharpoonup} \mu$ implican necesariamente $\mu_n \overset{2}{\rightharpoonup} \mu$ ? En caso negativo, ¿qué pasaría si $X$ es localmente compacta (y posiblemente separable)?

Muchas gracias por su explicación.

Answer 1

Aunque no sean exactamente lo mismo, en espíritu estás comparando débil y débil $^*$ convergencia.

Sea $X=[0,1]$ (el ejemplo funciona exactamente igual si tomamos $X=\{0\}\cup\{\frac1n:\ n\}$ ), $$\mu_n=\delta_{1/n},\qquad\qquad \mu=\delta_{\{0\}}.$$ Para cualquier $f\in C_b(X)$ , $$ \int_Xf\,d\mu_n=f\big(\frac1n\big)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(0)=\int_Xf\,d\mu. $$ Ahora dejemos que $\varphi\in M(X)^*$ viene dada por $\varphi(\eta)=\eta(\{0\})$ . Esto es lineal y acotado, ya que $|\eta(\{0\})|\leq|\eta(X)|\leq\|\eta\|$ . Y $$ \varphi(\mu_n)=0,\qquad\qquad n\in\mathbb N, $$ mientras que $$ \varphi(\mu)=\delta_{\{0\}}(\{0\})=1. $$ Lo que ocurre es que en el $1$ convergencia estás probando contra funciones continuas, mientras que en el # $2$ la convergencia se comprueba con todas las funciones acotadas de Borel y posiblemente más; ésta es una noción más fuerte de convergencia.