Normalmente, cuando se muestra (o incluso se dice) que $f\colon G\to X$ es un homomorfismo de grupo, es necesario saber que $G$ y $X$ son grupos en primer lugar. Sin eso, es decir, sin operaciones de grupo $\circ_G\colon G\times G\to G$ y $\circ_X\colon X\times X\to X$ no puede demostrar que $f(g_1\circ_G g_2)=f(g_1)\circ_X f(g_2)$ simplemente porque ni siquiera tiene sentido.
Sin embargo, en condiciones adecuadas en $f$ Nosotros mayo poder utilizar la propia función $f$ a defina una estructura de grupo en $X$ de una estructura de grupo en $G$ de forma que automáticamente $f$ un homomorfismo. Es decir, podemos (intentar) definir $$\tag1 x_1\circ_X x_2:=f(g_1\circ_G g_2)\quad \text{for }g_1,g_2\in G\text{ with }f(g_1)=x_1, f(g_2)=x_2.$$ (Y este attmept no es una conjetura salvaje, sino más bien la única manera que podría posiblemente trabajo). Para que esto funcione $\circ_X$ debe ser bien definido es decir: el resultado en $(1)$ no debe depender de las opciones elegidas para $g_1,g_2$ . Esto se reduce al siguiente requisito para $f$ : $$\tag2\forall g_1,g_2,g_1',g_2'\in G\colon f(g_1')=f(g_1)\land f(g_2')=f(g_2)\to f(g_1'\circ_G g_2')=f(g_1\circ_G g_2).$$
Tras estas observaciones, podemos aplicar lo anterior a la situación que nos ocupa: Aquí $G=\Bbb R$ con $\circ_G=+$ y $f$ es tu $\phi$ . Tenga en cuenta que $\phi(x)=\phi(x')$ es equivalente a $\sin x=\sin x'\land \cos x=\cos x'$ . De nuevo $\sin x=\sin x'$ es equivalente a $x'-x\in2\pi\Bbb Z\lor x'+x-\pi\in 2\pi \Bbb Z$ y $\cos x=\cos x'$ es equivalente a $x'-x\in2\pi\Bbb Z\lor x'+x\in 2\pi \Bbb Z$ . Por lo tanto, conjuntamente, son equivalentes a $x-x'\in2\pi \Bbb Z$ . Pero, por supuesto, si $x-x'\in2\pi \Bbb Z$ y $y-y'\in 2\pi\Bbb Z$ entonces también $(x'+y')-(x+y)\in2\pi \Bbb Z$ . Así pues, la condición $(2)$ es válida para nuestro ejemplo. Por lo tanto puede utilice $(1)$ para definir una estructura de grupo en $S$ que convierte $S$ en un grupo tal que $\phi$ es un homomorfismo.
La operación de grupo implícita en $S$ es, por tanto, tal que $$\tag3(\cos x,\sin x)^T\circ_S(\cos y,\sin y)^T=(\cos(x+y),\sin(x+y))^T. $$ Gracias a los teoremas de adición, podemos reescribir el resultado como $(\cos x\cos y-\sin x\sin y,\sin x\cos y+\cos x\sin y)^T$ . En otras palabras, podemos convertir $(3)$ en $$\tag 4 (a,b)^T\circ_S(c,d)^T=(ac-bd,ad+bc)^T.$$
Observación: Por cierto, podemos identificar $\Bbb R^2$ con $\Bbb C$ (identificando $(1,0)^T$ con $1$ y $(0,1)^T$ con $i$ o, de forma más general $(u,v)^T$ con $u+iv$ ). Con esta identificación, obsérvese que $(4)$ simplemente se convierte en multiplicación: $$(a+bi)\cdot(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.$$ Por tanto, la operación de grupo sobre $S$ que encontramos para hacer cumplir tat $\phi$ es un homomorfismo no es tan forzado después de todo y, de hecho, es bastante natural.
