En el cubo desairado $T^3-T^2-T=1$ y los dodecaedros snub $x^3-x^2-x=\phi$

Question

John Sharp tiene este bonito artículo, Más allá de la Sección Dorada: la punta dorada del iceberg donde recuerda cómo ciertas constantes aparecen en el,

I. Cubo desairado:

$$T^3-T^2-T=1\tag1$$

con constante de tribonacci $T \approx 1.83929$ .

II. Tubo dodecaedro:

$$x^3-x^2-x=\phi\tag2$$

con proporción áurea $\phi$ y raíz $x \approx 1.94315$ .

Nota : Por cierto, estos dos sólidos son los únicos Sólidos de Arquímedes que son quiral (con imágenes especulares).

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Sin embargo, en la Wikipedia para el dodecaedro snub, encontramos en su lugar las ecuaciones,

$$y=z-\frac1{z}\tag3$$

$$z^3-2z = \phi\tag4$$

Q: ¿De dónde sacó Sharp la ecuación "tribonacci-like" $(2)$ ? Y excluyendo la relación obvia $x^3-x^2-x = z^3-2z$ ¿cómo se relaciona con $(3)$ o $(4)$ ?

Answer 1

De un debate relacionado en este reciente Respuesta MO parece que Sharp obtuvo la ecuación tribonacci para el dodecaedro snub de Apéndice A de "Expresiones de forma cerrada para poliedros uniformes y sus duales" por Peter Messer.

I. Se sabe que circumradius $R$ para un cubo romo de longitud de arista unitaria viene dada por

$$R = \frac12\sqrt{\frac{3-T}{2-T}}=1.34371\dots$$

donde $T$ es la raíz real de,

$$T^3-T^2-T=1\tag1$$

II. En una corazonada, después de algunos experimentos, me encontré con que para el dodecaedro desairado se utiliza la misma fórmula

$$R = \frac12\sqrt{\frac{3-x}{2-x}}=2.15584\dots$$

donde $x$ es la raíz real de,

$$x^3-x^2-x=\phi\tag2$$

Y dado

$$z^3-2z = \phi\tag3$$

resulta que la relación entre Sharp $(2)$ y Wikipedia $(3)$ es simplemente,

$$x=\frac{\phi+z}z$$