Cómo calcular $\mathbb{P}(3x > -y > x \land x > 0 \land y < 0)$ ?

Question

Sabiendo que ambos $x \sim \mathcal{N}(0,1)$ y $y \sim \mathcal{N}(0,1)$ ( $x,y$ independientes entre sí), quiero calcular

$$\mathbb{P}(3x > -y > x \land x > 0 \land y < 0)$$

Soy consciente de que si dos sucesos son independientes, puedo tomar las dos probabilidades y multiplicarlas. Por ejemplo, si sólo me interesara

$$ \mathbb{P}(x > 0 \land y < 0) $$

Simplemente calcularía $\mathbb{P}(x > 0) \mathbb{P}(y < 0)$ .

Sin embargo, en el problema descrito anteriormente, la condición $3x > -y > x$ no es claramente independiente de las otras dos condiciones $x >0 \land y <0$ . Creo que debería reformular la condición para $3x > -y \land -y > x$ ... pero eso sigue dejando la cuestión de que las condiciones son algo dependientes entre sí.

¿Cómo puedo abordar este problema?

Answer 1

Desde $X$ y $Y$ son gaussianos independientes, también tienen una distribución normal conjunta. Por lo tanto, se puede tomar la pdf de a distribución normal estándar bivariante y ajustar las integrales según las condiciones dadas. Con $Z = -Y$ y $f(x,z)$ denotando la distribución normal bivariada, pensé en el problema de la siguiente manera:

$ \quad P(3x > -y > x \land x > 0 \land y < 0) \\ =P(3x > z > x) ; \ \ x,z>0 \\ =P(3x > z) - P(x > z); \ \ x,z>0 \\ =P(3x - z > 0) - P(x - z > 0); \ \ x,z>0 \\ = \int_0^{\infty} \int_0^{3x} f(x,z)dzdx - \int_0^{\infty} \int_0^{x} f(x,z)dzdx.$

Como la solución analítica en este punto no era fácil, tengo que admitir que me limité a utilizar WolframAlpha. Como resultado obtuve:

$\quad \int_0^{\infty} \int_0^{3x} f(x,z)dzdx - \int_0^{\infty} \int_0^{x} f(x,z)dzdx \\ = \frac{tan^{-1}(3)}{2\pi} - \frac{1}{8} \approx 0.073792. $

Answer 2

$\mathbb{P}(3x>-y>x \ \& \ x>0 \ \& \ y<0) = \mathbb{P}(3x>-y>x >0)$ Quizá esto le ayude a empezar.

Entonces, dividamos por x ( que sea mayor que 0)

$ \mathbb{P}(3x>-y>x >0) = \mathbb{P}(3>-\frac{y}{x}>1, x>0)$$