¿Podemos demostrar la existencia de un subconjunto no mensurable utilizando un subconjunto bien ordenado incontable sin $\sf DC$ ?

Question

¿Podemos demostrar en $\sf ZF \ +$ "Cada subconjunto de $\mathbb R$ es medible en Lebesgue". que $\aleph_1 \not \leq | \mathbb R|$ ?

I conozca que si también suponemos $\sf DC$ , la afirmación se mantiene, pero no sé si se puede hacer sin utilizar la elección en absoluto, gracias.

Answer 1

En este post, muestro que las principales consecuencias de la elección contable con respecto a la medida de Lebesgue se siguen de (y son equivalentes a) la afirmación de que la clase de conjuntos medibles es cerrada bajo unión contable: https://mathoverflow.net/a/393162/109573

En particular, todas estas propiedades de la medida de Lebesgue se deducen de la afirmación $``$ todos los conjuntos de reales son medibles. $"$

Hace un tiempo repasé el artículo de Raisonnier y me convencí de que todos sus argumentos pueden llevarse a cabo en este contexto. En particular, el argumento de Fubini de que el ideal nulo es cerrado bajo unión bien ordenada puede llevarse a cabo con una verificación ad hoc de las propiedades de integración pertinentes. No creo que hubiera ninguna otra sutileza que pudiera causar un problema en ausencia de elección.