Grupo finito no abeliano $G$ tiene al menos 2 clases de conjugación que contienen al menos 2 elementos

Question

Demuestre que cada grupo finito no abeliano $G$ tiene al menos $2$ clases de conjugación que contengan al menos $2$ elementos.

Tengo una solución que utiliza la ecuación de clase. Sin embargo, como no hemos tratado esta ecuación en clase, no disponemos de ella.

¿Es posible demostrar esta proposición sin la ecuación de clase?

Mi intento se parece a esto:

En $G$ es no abeliano, hay $a$ y $b$ con $a\neq b$ tal que $aba^{-1}\neq b $ y también $bab^{-1}\neq a $ . Por lo tanto, en la clase de conjugación de $b$ hay $b$ y $aba^{-1}$ por lo que esta clase contiene al menos dos elementos distintos. Lo mismo puede hacerse para la clase de conjugación de $a$ que contenga al menos $a$ y $bab^{-1}$ . A primera vista, ambas clases parecen distintas.

Sin embargo, ¿es posible que ambas clases de conjugación sean iguales?

Entonces, este intento de prueba sería inválido, por supuesto.

Answer 1

Para llegar a una contradicción supongamos por el momento que $G$ sólo tiene un solo clase de conjugación de cardinalidad mayor que $1$ . Esto implica que todos los elementos no centrales forman una clase de conjugación, digamos $G-Z(G)=Cl_G(x)$ para algunos $x \notin Z(G)$ . Tenga en cuenta que $x\neq x^2$ , $|C_G(x)| \geq 2$ . El resultado es $|G:C_G(x)|=\#Cl_G(x) \leq |G|/2$ de donde $|G|-|Z(G)| \leq |G|/2$ siendo equivalente a $|G|/2 \leq |Z(G)|$ . Pero $G$ no es abeliano, es decir, $|Z(G)| \lt |G|$ y concluimos $|G|/2=|Z(G)|$ donc $G/Z(G)$ es cíclico (de orden $2$ ), lo que implica $G$ es abeliano, ¡una contradicción!

Answer 2

El principio de su razonamiento es correcto.

Supongamos, para contradecir, que sólo hay una clase de conjugación con más de $1$ elemento. Entonces todo elemento no central es conjugado con cualquier otro elemento no central.

En caso de que todos los elementos de $G$ son de orden 2, entonces para cualquier elemento $a,c\in G$ tendrás $cac^{-1}=cac=caca\cdot a^{-1}=a^{-1}=a$ . Así que es bastante fácil analizar lo que ocurrirá en este caso.

Si no, elige un elemento $a\in G$ de orden superior a $2$ . Luego están $|G\setminus Z(G)|-o(a)+1$ elementos a conjugar $a$ por (ya que conjugar $a$ por sus poderes o por las cosas del centro resultará justo $a$ de nuevo). Por lo tanto, debe haber al menos $o(a)-1+|Z(G)|$ elementos que $a$ es no conjugar a.

Obviamente, esto no ocurriría si $G$ eran infinitas.

Answer 3

Puede encontrar un elemento $a \in G$ que no conmuta con $b \in G$ . Como ha demostrado, esto implica que la clase $Cl_G(a)$ tiene una cardinalidad mínima de $2$ o, lo que es lo mismo, el índice del centralizador de $a$ , $|G:C_G(a)| \geq 2$ . Esto hace que $C_G(a)$ a correcto subgrupo. Utilicemos ahora el hecho de que en un finito la unión de todos los conjugados de un subgrupo propio no puede ser el grupo entero (véase por ejemplo aquí ). De ello se deduce que se puede encontrar un $x \in G$ con $x \notin \bigcup_{g \in G}C_G(a)^g=\bigcup_{g \in G}C_G(a^g)$ . Esto implica que $a$ y $x$ no conmutan y también que $Cl_G(a) \cap Cl_G(x) = \emptyset$ .