¿Cómo es un ortante no negativo un cono?

Question

Mi libro de texto dice lo siguiente:

El ortante no negativo es el conjunto de puntos con componentes no negativas, es decir,

$$\mathbb{R}_+^n = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x_i \ge 0, i = 1, \dots, n\} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid x \succeq 0 \}.$$

(Aquí $\mathbb{R}_+$ denota el conjunto de números no negativos: $\mathbb{R}_+ = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0 \}.$ ) El ortante no negativo es un poliedro y un cono (y por eso se llama cono poliédrico ).

A cono se define anteriormente en el libro de texto de la siguiente manera:

Un conjunto $C$ se denomina cono, u homogéneo no negativo, si para cada $x \in C$ y $\theta \ge 0$ tenemos $\theta x \in C$ .

A poliedro se define anteriormente en el libro de texto de la siguiente manera:

$$\mathcal{P} = \{ x \mid a_j^T x \le b_j, j = 1, \dots, m, c_j^T x = d_j, j = 1, \dots, p \}$$

Veo que un orto no negativo es un poliedro, pero no veo por qué es también un cono. Por ejemplo, según la definición anterior de cono, no es necesario que $x \ge 0$ a diferencia de un ortante no negativo.

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclararlo.

Answer 1

Escojamos un elemento del ortante no negativo, $x$ entonces tenemos $x \ge 0$ .

Tomamos un número arbitrario no negativo $\theta$ y construir el vector $y=\theta x$ .

Cada componente de $y$ es $y_i=\theta x_i$ donde $\theta \ge 0$ y $x_i \ge 0$ por lo que tenemos $y_i \ge 0$ .

Por lo tanto $y$ todavía reside en el octante no negativo.

Por lo tanto, el ortante no negativo es un cono.

El ortante no negativo es un cono, no significa que todo cono sea un ortante no negativo. Es un caso especial de un cono, que puede tener propiedades especiales, tales como tener componentes no negatividad para cada elemento.