La comprensión de los Diagramas de Dynkin - cualquier organización de ideas - que son ahora suficientemente entendido?

Question

Algunos de los 30 años o así que hace JH Conway plantea una pregunta acerca de la ubicuidad del Diagrama de Dynkin - no necesariamente en público, pero he oído que le pedimos. Creo que fue en el contexto de "¿qué sería de Hilbert preguntas para hoy?"

El contexto fue la forma en que surgieron en relación a la Mentira de Grupos y Álgebras de Grupo, la Teoría y la Geometría (obviamente ligados), pero aparentemente diferentes (no del todo explicado o entendido) maneras.

Mi última lectura ha cubierto el Octonions (los que parecen estar más de moda que hasta ahora), y me preguntaba si hay un consenso de que la corriente de ideas adecuadamente "explicar" los vínculos entre estas áreas, o si hay mucho trabajo todavía por hacer?

Hay conjeturas en esta zona, que están sin resolver?

Mi principal interés está en la especial/casos excepcionales que dan lugar a algo muy interesante y peculiar estructuras matemáticas.

Answer 1

Hay toda una zona, originalmente debido a Conway y extendida por Borcherds, en el que positivo integral de celosías (cuadráticas formas) que se incrustan en indefinido o de Lorenz celosías. Este es continuada, en particular, por Daniel Allcock en la U. de Texas, Austin. No puedo decir que lo he comprendido todo, pero la ayuda de Borcherds y Allcock llevó a un buen poco de papel; mientras tanto, ver http://www.ma.utexas.edu/users/allcock/

Como a algo que me hizo entender, incluso (positivo) integral de celosía es uno en el que el producto interior de dos vectores es un número entero, mientras que la norma de cualquier vector (producto interior consigo mismo). Con el MCD de todas las normas que exactamente 2, hemos normalizado suficiente, y este objeto tiene un cubrimiento de radio: coloque una bola cerrada de radio $R$ centrada en cada punto de celosía, y todos los de $\mathbb R^n$, e $R$ es el radio más pequeño que va a hacer que. Abra problema: encontrar todas esas celosías con el recubrimiento de radio exactamente igual a $\sqrt 2.$ Que era la única cosa Allcock me preguntó como me había indicado que Gabriele Nebe había encontrado todas esas celosías con $R < \sqrt 2.$ Ver http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/pl.html el artículo titulado Incluso celosías con el recubrimiento de radio estrictamente menor que sqrt{2} como un pdf con las correcciones, el original apareció en Beiträge zur Álgebra und Geometrie, Vol. 44, Nº 1, 2003, 229-234