¿Por qué se utilizan siempre el seno y el coseno para describir oscilaciones?

Question

Lo que realmente pregunto es si existen otras funciones que, como $\sin()$ y $\cos()$ sont delimitado desde arriba y desde abajo, y periódico ?

Si las hay, ¿por qué nunca se utilizan para describir oscilaciones en Física?

EDITAR:

En realidad se me acaba de ocurrir una cicloide que, efectivamente, está acotada y es periódica. Alguna razón en particular de por qué no aparece en la ciencia tanto como los senos / cosenos?

Answer 1

Sí, hay alternativas. Pero gran parte de la dependencia de los senos y los cosenos es histórica. El análisis de sistemas mecánicos oscilantes se centraba naturalmente en los senos, ya que así es como vibran las cosas. Con ese marco, resultó que los sistemas eléctricos y magnéticos también responden. Además (o quizás se podría decir, alternativamente) el movimiento circular se descompone fácilmente en senos y cosenos. Y la lista continúa.

Como alternativas, las formas de onda periódicas, acotadas y de buen comportamiento pueden descomponerse en senos y cosenos mediante la transformada de Fourier, y la FT puede ampliarse poderosamente a la transformada de Laplace. Los cicloides son interesantes, pero se comportan mal: requieren un dy/dx infinito. Y eso, a su vez, los hace poco adecuados para aplicarlos a problemas que NO tienen dy/dx infinitos, que es casi todo.

Esto no quiere decir que NO existan alternativas para algunas aplicaciones: véase la teoría de ondículas.

Answer 2

Otra razón es que percibimos el tiempo como si siempre avanzara, y vemos muchos ejemplos de rotación con revoluciones constantes, por lo que nos resulta natural expresar las oscilaciones en términos de tiempo hasta el ángulo más el radio y desde esa posición x,y.

Sin y Coseno por definición nos dan las coordenadas x,y dado un ángulo y radio de 1, por lo que es conveniente usarlos.

Answer 3

En pocas palabras, nuestro universo tiende a funcionar de una manera en la que la presencia de algo altera la tasa de alguna variable relacionada. Se podría decir que el universo opera sistemáticamente a partir del interés de cada acción, donde cada cambio instantáneo afecta al futuro del sistema. Resulta que matemáticamente éste es un ejemplo del mundo real de crecimiento exponencial. Se podría decir que, en esencia, la mayoría de las propiedades de las cosas que observamos en el universo ocurren exponencialmente. El exponencial canónico en el que pensamos es e^x.

Seguro que ahora te preguntas por qué menciono exponenciales en una pregunta sobre senos y cosenos. La razón es que los senos y los cosenos son en realidad funciones exponenciales cuando el exponente de nuestro interés implica números imaginarios. Exactamente igual que la tasa de crecimiento de algo en el crecimiento exponencial clásico aumenta a medida que aumenta la variable independiente, cuando tratamos con senos y cosenos la cantidad exacta de material presente está creando un sistema que responde aumentando en ciertos intervalos y disminuyendo en otros.

En esencia, se puede pensar en esto como una forma especial de crecimiento exponencial donde todos sus valores anteriores fuera de la longitud de onda actual que está examinando no importan, y es en realidad sólo la cantidad de su variable en exceso de algún múltiplo de su material que afecta a las propiedades a granel.

Para verlo gráficamente, dibuja un gráfico con un eje real y otro imaginario. Dibuja un punto en la recta numérica, multiplica ese número por un número real y luego por un número imaginario y repite la operación. Verás que el número real escalas el valor mientras que el número imaginario gira la flecha. Al trasladar este comportamiento a exponenciales se crean exponenciales en los que el crecimiento "escala" (el clásico e^x en el que pensamos), o el crecimiento "gira" (senos y cosenos).