Lo que realmente pregunto es si existen otras funciones que, como $\sin()$ y $\cos()$ sont delimitado desde arriba y desde abajo, y periódico ?
Si las hay, ¿por qué nunca se utilizan para describir oscilaciones en Física?
EDITAR:
En realidad se me acaba de ocurrir una cicloide que, efectivamente, está acotada y es periódica. Alguna razón en particular de por qué no aparece en la ciencia tanto como los senos / cosenos?
En parte se debe a que la mecánica newtoniana se describe en términos de cálculo .
Cuando consideramos movimientos vibratorios, estamos hablando de alguna partícula que tiende a no desplazarse de alguna posición de equilibrio. Es decir, la fuerza sobre la partícula, en el desplazamiento $x$ , $F(x)$ es igual a alguna función del desplazamiento $x$ , $g(x)$ .
Aquí intervienen dos formas de cálculo. En primer lugar, $F=ma$ y $a$ La aceleración es una "tasa de cambio" y, por tanto, un concepto de cálculo. Así pues, tenemos $ma(x)=g(x)$ .
Ahora, tratándose de una función general $g$ es demasiado difícil, no llegaremos a ninguna parte con él. Entonces, ¿cómo podemos proceder de la manera más general? Un método fructífero es hacer una expansión de Taylor. $g(x)=g(0)+g'(0) x+\frac{1}{2} g''(0) x^2+\frac{1}{3!} g^{(3)}(0)x^3+\cdots$ donde estos son los $g^{(n)}(x)$ es la enésima derivada de g en el punto x.
Si queremos $x=0$ para ser una posición de equilibrio, debemos tener $g(0)=0$ - no hay ninguna fuerza sobre la partícula en equilibrio. Si queremos que sea un equilibrio estable que tienda a volver a su posición original, debemos tener $g'(0)<0$ . Todos los demás derivados son válidos. Escribir $-k=g'(0)$ :
$$m a(x)=-k x+\frac{1}{2} g''(0) x^2+\frac{1}{3!} g^{(3)}(0)x^3+\cdots$$ como es tan útil en física, suponemos ahora que $x$ es pequeño, de modo que $x^2$ es muy pequeño, y $x^3$ es aún menor. Es decir, ignoramos todas las potencias de $x$ mayor que uno. Terminamos con: $$m a(x)=-k x$$ Ley de Hooke. La solución a esta ecuación es sinusoidal, siempre. (es decir, se puede escribir de la forma $x=a \cos(\omega t-\varphi)$ )
Así que es inevitable que, con estas definiciones de "equilibrio estable", el patrón vibratorio resultante a pequeñas amplitudes sea sinusoidal. Siempre. Eso es lo que hace que $\cos$ y $\sin$ especial desde un punto de vista físico.
(por supuesto, también hemos asumido tácitamente que $g$ es una bonita función que es agradable y suave y diferenciable, pero uno generalmente hace eso cuando trabaja en problemas de estilo newtoniano)
Una de las grandes razones no discutidas anteriormente es la teoría de Fourier - cualquier función $f(x)$ puede expresarse de la forma $f(x) = \int dk\, A(k)e^{ikx}$ lo que significa básicamente que cualquier función puede descomponerse en una suma infinita de senos y cosenos. Dado que este es el caso y que tratar con senos y cosenos es matemáticamente más sencillo que el caso general de funciones periódicas, ¿por qué preocuparse por este último, cuando siempre se puede reexpresar cualquier función como una suma de senos y consenos, y una solución en esta forma es completamente isomorfa con el caso general, suponiendo que su ecuación base sea lineal?
Una respuesta literal a la pregunta del título sería simplemente "porque en el mundo físico, las oscilaciones se comportan de manera coherente con ". $\sin$ y $\cos$ ." Por supuesto, uno se pregunta por qué estas funciones son tan omnipresentes.
Dependiendo de su nivel de conocimientos de física, es posible que esté familiarizado con el oscilador armónico, es decir, un sistema para el que existe una fuerza de restauración proporcional al desplazamiento. Por ejemplo, el movimiento de un muelle es armónico simple (ya que, por la ley de Hooke, la fuerza de restauración es proporcional a la cantidad de cuerda que se estira) y el movimiento de un péndulo para amplitudes angulares pequeñas es armónico simple. De hecho, cualquier objeto en equilibrio estable se moverá armónicamente para pequeñas perturbaciones.
Cuantitativamente hablando, queremos decir que para el movimiento armónico simple, $F = - k x$ para algún desplazamiento $x$ . Además, $F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2}$ por lo que combinando estas dos ecuaciones, encontramos que
$$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m} x$$
Se trata de una ecuación diferencial que debe resolverse para hallar $x(t)$ . Resulta que la solución a esta ecuación es una expresión de la forma $A \sin( \omega t - \phi)$ para constantes $A$ , $\omega$ y $\phi$ - Para comprobarlo, introduzca una función como $x(t) = 2 sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t - \frac{\pi}{2}\right)$ .
Puesto que el movimiento armónico simple es la forma más común de oscilación, y el movimiento armónico simple se describe utilizando $\sin$ y $\cos$ La mayoría de las oscilaciones en física siguen estas funciones trigonométricas.
El cicloide no aparece tanto como $\sin$ y $\cos$ simplemente porque no hay razón para ello. No hay muchos fenómenos físicos que sigan trayectorias cicloidales, ya que la cicloide es una forma tan compleja comparada con la bastante simple $\sin(\theta) = \operatorname{Im}({e^{i \theta}})$ y $\cos(\theta) = \operatorname{Re}({e^{i \theta}})$ .
Esta pregunta me recuerda algunas observaciones de las páginas 14-16 de Mecánica cuántica y teoría de la representación de Peter Woit notas
Básicamente, imagina que estás viendo todas las funciones periódicas desde los números reales hasta los complejos. Esto es equivalente a mirar todas las funciones desde el círculo unitario hasta los números complejos. Añadamos la propiedad de que queremos que nuestra función $f$ sea tal que $f(\theta_1 + \theta_2) = f(\theta_1)f(\theta_2)$ (hay que admitir que es arbitrario hacer esto en este punto, pero al menos es una propiedad elegante : ) ).
Entonces, es un hecho que nuestra función tiene que ser de la forma $\theta \rightarrow e^{ik\theta} = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta)$ para un número entero $k$ . Así que esto introduce por qué uno se preocuparía por las opciones trigonométricas en particular y no en otras formas de describir las oscilaciones.
Si nos fijamos en lo que sucede en la prueba, básicamente se reduce al hecho de que las funciones trigonométricas tienen buenas propiedades en términos de diferenciación, y la relación entre sí, por ejemplo. $$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin(\theta_1)\cos(\theta_2) + \sin(\theta_2)\cos(\theta_1)$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
