Supongamos que $X$ , $Y$ son i.i.d y $\dfrac{X+Y} {2^{1/\alpha} } \stackrel{\text{d}}{=} X$

Question

Supongamos que $X$ , $Y$ son i.i.d y $\dfrac{X+Y} {2^{1/\alpha} } \stackrel{\text{d}}{=} X$ .

1. Si $0<Var(X)<\infty$ demuestre que $\alpha =2$ y $X \sim N(0,\sigma^2)$ para algunos $\sigma^2 \ge 0 $ .
2. Si $X$ tiene función característica $e^{-c|t|^{\alpha}}$ con $\alpha >0$ deducimos que $Var(X)< \infty$ y concluir que $X=0$ (es decir, Estable- $\alpha$ no existen distribuciones para $\alpha>0$ ).

Lo que he probado es Var( $X$ ) = Var( $\dfrac{X+Y} {2^{1/\alpha} } $ )

$\implies$ Var( $X$ ) = $\dfrac{2} {2^{2/\alpha}}$ Var(X)

Dado que Var( $X$ ) $\neq$ $0$ , $2^{1-2/\alpha}=1$ $\implies$ $\alpha =2$

Pero soy incapaz de probar que $X \sim N(0,\sigma^2)$ para algunos $\sigma^2 \ge 0 $ .se que tengo que trabajar con funciones características pero no consigo nada. Tampoco se como proceder para la segunda parte. Sería de gran ayuda si alguien me puede dar pistas. Gracias de antemano.

Answer 1

(Parte 1) En $X$ , $Y$ son i.i.d. el argumento de OPs muestra que $\alpha=2$ y $\mathbb{E}[X]=0$ . Sea $\sigma^2=\mathbb{E}[X^2]$ . Utilizando de nuevo la propiedad i.i.d. de $X,Y$ obtenemos que \begin{align} \phi^2(2^{-1/2}t)=\phi(t)\tag{1}\label{one} \end{align} donde $\phi$ es la función característica de $X$ . Por inducción \begin{align} \phi^{2^n}(2^{-n/2}t)=\phi(t)\tag{2}\label{two} \end{align} Observe que $\phi^{2^n}(2^{-n/2}t)$ es la función característica de la distribución de $$\frac{X_1+\ldots + X_{2^n}}{2^{n/2}}$$ donde $(X_k:k\in\mathbb{N})$ es una secuencia i.i.d. Dado que $\sigma^2<\infty$ el teorema central del límite da como resultado $$\frac{X_1+\ldots + X_{2^n}}{\sigma 2^{n/2}}\Longrightarrow N(0,1)$$ Por lo tanto $$\phi^{2^n}(2^{-n/2}t)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}\psi_{\sigma^2}(t)$$ donde $\psi_{\sigma^2}$ es la función característica de una distribución normal con media $0$ y varianza $\sigma^2$ . En consecuencia, $X\sim N(0,\sigma^2)$ .

(Parte 2) No está muy claro. Por ejemplo, la distribución Cauchy $$\mu(dx)=\frac{1}{\pi c}\frac{1}{1+\tfrac{x^2}{c^2}}\,dx$$ tiene función característica $\phi(t)=e^{-c|t|}$ ( $\alpha=1$ ), satisface $\frac{X+Y}{2}\stackrel{d}{=}X$ si $X\sim\mu$ pero $\operatorname{var}(X)=\infty$ .