Necesito ayuda con la próxima serie. Quiero demostrar que la serie de potencias diverge si $x=8$ o $x=-8$ pero no sé cómo. Realmente aprecio cualquier pista / ayuda. Gracias.
En primer lugar, la serie de potencias es $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(n!)^2 x^n}{2^n ((2n)!)}$ . Afirmamos que la serie converge si $|x|<8$ . Si utilizamos la prueba de la proporción, entonces, tenemos que calcular $$\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\frac{\frac{(n!)^2}{2^n (2n!)}}{\frac{((n+1)!)^2}{2^{n+1} (2n+2)!}}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{(n!)^2 2^{n+1} (2n+2)!}{2^n (2n)!((n+1)!)^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \displaystyle\frac{2(2n+1)(2n+2)}{(n+1)(n+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\frac{8n^3+12n+4}{n^2+2n+1}=8$$ Por lo tanto, el radio de convergencia es $8$ . Entonces, la serie de potencias converge en $(-8,8)$ . Pero, ¿qué ocurre en $8$ y $-8$ ? Wolfram dice que la serie diverge, pero no sé cómo demostrarlo. Tanto la prueba de razón como la de raíz han fallado. Pensé en la prueba de comparación (por desigualdades) pero, parece tan difícil. Probablemente la solución es muy fácil, pero, realmente no puedo verlo.
