¿Están j y k en planos imaginarios diferentes de i?

Question

Estoy tratando de entender los cuaterniones. Así que entiendo que un Quaternion se escribe como $xi+yj+zk+w$ . También entiendo que $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ y cómo se puede utilizar para derivar ecuaciones como $ij = k$ y $jk = i$ .

Una cosa que me confunde es que $i$ no es igual a $j$ que no es igual a $k$ . Puedo decir $i^2 = -1$ y $j^2 = -1$ pero no puedo decir $ij = -1$ .

Corrígeme si estoy entendiendo algo mal, pero ¿por qué parecen tener el mismo producto cuando se eleva al cuadrado y, sin embargo, hay que multiplicar los tres para igualar el producto de cualquiera de ellos al cuadrado? ¿Se supone que están en diferentes planos imaginarios?

Answer 1

Eso es correcto, $i$ , $j$ y $k$ están contenidos en tres planos complejos separados contenidos en los números de cuaterniones.

Al igual que los números complejos $\mathbb{C}$ puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional sobre $\mathbb{R}$ con base $1,i$ los cuaterniones $\mathbb{H}$ son un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre $\mathbb{R}$ con base $1,i,j,k$ .

En particular, el plano abarcado por $1,i$ el plano abarcado por $1,j$ y el plano abarcado por $1,k$ son subplanos diferentes, dos de los cuales se cruzan en la línea real atravesada por $1$ .

Así que se puede pensar en estos tres planos como tres copias separadas de los números complejos incrustados en los números de cuaterniones.

Answer 2

Una forma de ver los cuaterniones es mediante las matrices: $$ 1=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$ $$ i=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ -1&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} $$ $$ j=\begin{bmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ -1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{bmatrix} $$ $$ k=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ -1&0&0&0 \end{bmatrix} $$ Podemos ver esto como $4$ vectores ortogonales que abarcan un $4$ subespacio dimensional de $\mathbb{R}^{16}$ .

Así que sí, estos pueden ser vistos como $4$ vectores de base ortogonal, $3$ de los cuales son ortogonales a los reales, por lo tanto "imaginarios".

Answer 3

La operación de multiplicación de cuaterniones (producto) es una generalización de la multiplicación de números complejos, que a su vez es una generalización de la multiplicación de números reales. No es "sólo" una multiplicación. Veámosla en detalle.

Por supuesto, existe una definición precisa y teoremas que describen sus propiedades, pero en este contexto basta con saber que los cuaterniones pueden compararse con vectores unitarios ortogonales. Su producto [vectorial] es igual a una rotación, así $i*j=k$ . Con cada rotación se pasa a una nueva dimensión ortogonal. Después de tres rotaciones aterrizas de nuevo en un eje real pero el vector apunta a $-1$ . Así que para ilustrarlo podemos escribir: $k^2=k*k=i*j*k=1*i*j*k=-1$

La misma lógica se aplica al complejo $i$ que representaba una rotación de 90 grados en el espacio bidimensional y así $1*i*i=-1$ como resultado de dos rotaciones, es decir, de 180 grados.

Espero que ahora sea obvio por qué $i*j$ no es igual $-1$ ? Después de dos rotaciones en el espacio cuatridimensional, ¡todavía no hemos llegado a un eje real!

Esto es absolutamente equivalente a la explicación con la representación matricial, pero me parece más intuitivo.

Aquí hay algunas referencias adicionales para esos conceptos http://physics.info/vector-multiplication https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cayley -Dickson_construcción