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¿Racionales + irracionales = siempre irracional?

Yo tenía un poco de ida y vuelta, con mi profesor de lógica temprano el día de hoy se trata de probar un número es irracional. He propuesto que 1 + un número irracional es siempre irracional, por lo tanto, si podía probar que 1 + número irracional es irracional, entonces era lógico que también fue demostrando que el número en cuestión era irracional.

Por ejemplo. $\sqrt2 + 1$ puede ser expresado como una fracción continua, y a través de mirar la fracción, se puede suponer $\sqrt2 + 1$ es irracional. Me sugirió que debido a esto, $\sqrt2$ es también irracional.

Mi profesor dijo que esto no es siempre cierto, pero no puedo pensar en un ejemplo que sugiere que esta.

Si $x+1$ es irracional, es de $x$ siempre irracional?

En realidad, una mejor pregunta es: si $x$ es irracional, es de $x+$ n irracional, siempre $n$ es un número racional?

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Praphulla Koushik Puntos 9880

Supongo que $x$ es irracional y $x + \frac {p} {q} = \frac {m} $ {n} entonces, $x = \frac {m} {n}-\frac {p} {q} = \frac {mq-np} {nq} $, $ $x sería racional. :)

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Casteels Puntos 8790

Mira el contrapositive: Si $x$ es racional, entonces $x + $ n es racional. Claramente esto es una declaración verdadera.

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Travis Puntos 517

Una prueba en el estilo de la "matemática dificultado": tenga en cuenta que un número $r$ es racional si y sólo si $\mathbb Q(r) = \mathbb Q$. Ahora es fácil ver que $\mathbb Q(\gamma) = $ \mathbb Q(r+\gamma)$ $r racional y arbitraria $\gamma$. Así que si $r + \gamma$ es irracional, entonces $\gamma$ es también.

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Mr.Coffee Puntos 101

De hecho, para cualquier número racional $ r $ es verdad que la irracionalidad de $ x + r $ implica la irracionalidad de $ x $. Esto es debido a que los racionales son cerrados bajo adición. Suponga que $ x + r $ es irracional y (contradicción) que $ x $ es racional, por el hecho de que los racionales son cerrados bajo adición ($\mathbb {Q} $ es un campo) tienes que $ x + r $ es racional. Contradicción.

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DanV Puntos 281

Tenga en cuenta que la suma de dos racionales es siempre racional, y que si $n$ es racional entonces $n$ es racional. Ahora Supongamos que $x$ es cualquier número y $n$ es racional.

Supongo que $x + $ n es racional, entonces $($ x+n)+(-n) es racional. Por lo tanto $ $x+(n+(-n)) es racional. Por lo tanto $x + 0$ es racional, y finalmente $x$ es racional.

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