$15$ hombres y $15$ mujeres en $15$ parejas

Question

Halla el número de formas de dividir $15$ hombres y $15$ mujeres en $15$ parejas.

Mi solución es: First Man puede ser emparejado con cualquiera de $15$ mujeres en $15$ formas. Second Man puede emparejarse en $14$ y así sucesivamente. Por lo tanto, el total de vías es $15!$

Pero solución de libro es así:

Seleccione un hombre de $15$ hombres y seleccionar una mujer de $15$ mujeres que puede hacerse en $\binom{15}{1}^2$ . Del mismo modo de $14$ hombres seleccionan a un hombre y de $14$ mujeres seleccionan a una mujer que puede $\binom{14}{1}^2$ . Por lo tanto, el número total de vías es

$$\sum_{k=1}^{15} \binom{k}{1}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+15^2=\frac{15 \times 16 \times 31}{6}=1240$$

Answer 1

Para probar las soluciones podemos empezar con algo más sencillo: $2$ hombres y $2$ mujeres en $2$ parejas. El recuento directo da que hay $2$ posibles soluciones (o parejas). Pero la solución del libro da $$\sum_{k=1}^2 \dbinom{k}{1}^2=1^2+2^2=5$$ lo cual es obviamente erróneo. Por el contrario su solución da $2!=2$ lo cual es correcto.

Proceder con $n=3$ confirma que su forma de pensar es correcta en contraste con la solución propuesta, que no lo es.

Answer 2

No estoy de acuerdo con la respuesta del libro. No hay recuento múltiple en su solución.

Un ejemplo sencillo $A,B,C$ y $a,b,c$

$Aa-Bb-Cc,\;\; Aa-Bc-Cb$
$Ab-Bc-Ca,\;\; Ab-Ba-Cc$
$Ac-Ba-Cb,\;\; Ac-Bb-Ca$

son claramente $3!=6$ formas de agrupar los $3$ parejas

De hecho, el libro daría más grupos aquí, $3^2 + 2^2 + 1^2 = 14$

¿Puede alguien mostrarme cómo se conseguiría $14$ ¡Parejas aquí!

La forma en que OP ha calculado es una forma estándar de resolver un problema de este tipo.