Desigualdades AM/GM

Question

Necesito ayuda para demostrar esta desigualdad... Supongo que uno puede usar las desigualdades de Jensen y luego AM/GM.

Sea $x_1, x_2, x_3, x_4$ sean números reales no negativos tales que $x_1 x_2 x_3 x_4 =1$ .
Queremos demostrar que $$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 \ge x_1+x_2+x_3+x_4,$$ y también $$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + x_4^3 \ge \frac1{x_1}+ \frac1{x_2} +\frac1{x_3}+\frac1{x_4}.$$

Desde $xx^3$ es convexa en R+ por la desigualdad de Jensen tenemos $x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^34^{-2}(x_1+x_2+x_3+x_4)^3$ entonces utilizando la desigualdad AM/GM y puesto que $x_1x_2x_3x_4=1,$ podemos demostrar que $(x_1+x_2+x_3+x_4)^34$

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

$\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i=1,x_i\in\mathbb R^+$ . Demuestre que

• $(a)\displaystyle\sum_{i=0}^n x_i^3\ge \displaystyle\sum_{i=0}^nx_i$
• $(b)\displaystyle\sum_{i=0}^n x_i^3\ge \displaystyle\sum_{i=0}^n\frac{1}{x_i}$

$(a)$ Sea $f(x)=x^3-x$ . Desde $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=6x>0\ \forall\ x>0$ desigualdad de Jensen $$\Rightarrow \dfrac{\displaystyle\sum _{i=1}^n(x^3_i-x_i)}n\ge f\left(\frac{\displaystyle\sum x_i}n\right)\ge f\left(\left(\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac1n}\right)=f(1)=0\tag{1}$$ desde $f(x)$ aumenta después de $x=1$ .

PS: Dibujar gráfico de $f(x)$ para entenderlo mejor.

Answer 2

La primera desigualdad.

Tenemos que demostrarlo: $$\sum_{cyc}x_1^3\geq\sum_{cyc}x_1\sqrt{\prod_{cyc}x_1}$$ o $$\sum_{cyc}x_1^3\geq\sum_{cyc}\sqrt{x_1^3x_2x_3x_4},$$ lo que es cierto por Muirhead porque $$(3,0,0,0)\succ(1.5,0.5,0.5,0.5).$$ También podemos utilizar AM-GM: $$\sum_{cyc}x_1^3=\frac{1}{6}\sum_{cyc}(3x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)\geq\frac{1}{6}\sum_{cyc}6\sqrt[6]{x_1^9x_2^3x_3^3x_4^3}=\sum_{cyc}x_1.$$ También funciona el método de la línea tangente: $$\sum_{cyc}(x_1^3-x_1)=\sum_{cyc}\left(x_1^3-x_1-2\ln{x_1}\right)\geq0.$$ En efecto, dejemos que $f(x)=x^3-x-2\ln{x},$ donde $x>0$ .

Así, $$f'(x)=3x^2-1-\frac{2}{x}=\frac{(x-1)(3x^2+3x+2)}{x},$$ que da $x_{min}=1$ , $$f(x)\geq f(1)=0$$ ¡y ya está!

La segunda desigualdad la podemos demostrar de forma similar.