La medición de conjuntos convexos

Question

Cómo probar la capacidad de conjuntos convexos en $R^n$ ? He visto una prueba, pero es demasiado largo y no es muy intuitivo.Si usted ha visto, por favor, publicarlo aquí.

Answer 1

Deje $C$ ser su conjunto convexo, y suponer sin pérdida de generalidad(1) que contiene el cero como un punto interior y está acotada.

La cuestión se reduce a mostrar que la $\partial C$ tiene medida cero(2), que puede ser mostrado por apretar el límite entre el interior $C^\circ$, y una versión ligeramente ampliada del interior, $\frac{1}{1-\epsilon}C^\circ$.

Deje $p \in \partial C$. Desde $0$ es un punto interior, por la convexidad el punto de $q:=(1-\epsilon)p$ se encuentra en el interior del cono $K:=\{sp + (1-s)x: x \in B_r(0) \}$, y por lo tanto $q \in C^\circ$. Pero, a continuación,$p=\frac{1}{1-\epsilon}q \in \frac{1}{1-\epsilon}C^\circ$.

Así $$\partial C \subset \frac{1}{1-\epsilon}C^\circ.$$ Ya que para cualquier conjunto de la frontera y el interior son distintos, $$\partial C \subset \frac{1}{1-\epsilon}C^\circ \setminus C^\circ.$$ Desde el interior de un conjunto convexo es convexa en(3) y $C^\circ$ contiene cero, $C^\circ$ se encuentra en la dilatación: $$C^\circ \subset \frac{1}{1-\epsilon}C^\circ.$$

Por último, dado que hemos asumido $C^\circ$ es acotado, la medida de la frontera, $$\lambda(\partial C) \le \lambda(\frac{1}{1-\epsilon}C^\circ \setminus C^\circ) = (\frac{1}{1-\epsilon})^n\lambda(C^\circ)-\lambda(C^\circ),$$ puede hacerse tan pequeña como se desee tomando $\epsilon \rightarrow 0$.

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Atando cabos:

(1):

• Si el conjunto no está acotado, cortar con una contables colección sucesivamente de bolas más grandes. Desde el contable de la unión de conjuntos medibles es medible, esto es suficiente.

• Si el conjunto de $C$ contiene algunos de punto interior, traducir el conjunto de lo que el punto interior es cero. Dado que la medida de Lebesgue es la traducción de todos los idiomas, esto es suficiente.

• Si el conjunto de $C$ no contiene puntos del interior, entonces todo lo que el punto debe estar dentro de un $n-1$ plano dimensional, de lo contrario $C$ contendría una n-tetraedro (simplex), y un simplex contiene los puntos del interior. Por lo tanto $C$ se encuentran dentro de un conjunto de medida cero y el resultado es trivial.

(2):

• En el límite, el cierre, y en el interior de un conjunto son siempre cerradas, cerradas y abiertas, respectivamente, por lo que siempre son medibles.
• Si $\partial C$ tiene medida cero, entonces $\partial C \cap C$ es medible y tiene medida cero por la integridad de la medida de Lebesgue.
• Una vez que usted tiene la mensurabilidad de $\partial C \cap C$, usted tiene la mensurabilidad de $C$, ya que $$C=(\partial C \cap C) \cup C^\circ.$$

(3):

• La prueba de que la toma de interiores conserva la convexidad es directo a partir de las definiciones, pero un poco tedioso. Ver lema 4 aquí.

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Edit: Para agregar, el enfoque en la respuesta aquí: ¿Por qué un conjunto convexo tienen los mismos puntos del interior como de su cierre? es similar a la de razonamiento en mi post, y brilla un poco de luz sobre lo que está pasando. La técnica podría ser adaptado fácilmente para demostrar el resultado aquí, y así, se obtiene una otra prueba similar.

Answer 2

Un relativamente simple, la prueba de una forma más general de resultados (medición con respecto a cada producto de la medida de $\sigma$-finito medidas de Borel) se puede encontrar en

Lang, Robert Una nota sobre la medición de conjuntos convexos. Arch. De matemáticas. (Basilea) 47 (1986), no. 1, de 90, 92.