Aproximación continua de la cadena de átomos 1d

Question

Estoy leyendo "Condensed Matter Field Theory" de Atland y Simons. Tengo una pregunta bastante simple. Hablan de una cadena 1d de $N$ el Lagrangiano para este sistema es sencillo: $$ L = \sum_{n=1}^{N} (\frac{m}{2}\dot{\phi}_n^2 - \frac{k_s}{2}(\phi_{n+1} - \phi_n)^2) $$ donde $\phi_n$ es simplemente el desplazamiento desde el equilibrio. Sostiene que si $\phi_{n+1}-\phi_n << a \,\,\forall n$ donde $a$ es entonces el espaciado de la red: $$ \mathcal{L} = (\frac{m}{2}\dot{\phi}(x,t) - \frac{k_sa}{2}(\partial_x \phi(x,t))^2). $$ Tengo el siguiente problema:

Con este negocio continuo, también se identifica lo integral como habitual: $$ \int_0^{L=NA} f(x) dx= \sum_{n=0}^N f(an)a $$ Digamos que eliges $f(x)=x^2$ donde $x$ sería el estiramiento del muelle como en el Lagrangiano. Supongamos que elegimos integrar entre dos puntos $A$ y $B=A+a$ tal que en el caso discreto $\phi_{A+1}-\phi_{A}=0$ es decir, sin estiramiento, pero en el continuo sólo los puntos extremos están bajo ningún estiramiento, en el medio la "continuación" del continuo daría un valor no nulo de la integral. Si esto es cierto, la aproximación del continuo está añadiendo energía potencial no existente al sistema. ¿Por qué mi razonamiento es erróneo o por qué está bien utilizar esta aproximación?

Tl;dr: Básicamente necesito una derivación detallada paso a paso de cómo pasar de la Lagrangiana discreta de una cadena atómica 1d a su Lagrangiana de densidad continua.

Answer 1

Tengo que admitir que no seguí su argumento y sobre la $f(x)=x^2$ ejemplo (¿dónde existe tal término en el Lagrangiano? ¿por qué $\phi_{A+a}-\phi_A=0$ aquí). Específicamente, observe que no integramos sobre una función como $x^2$ pero sobre el campos en un momento dado $x$ .

Espero poder dilucidar la correspondencia entre la red y el continuo.

Comenzamos con un lagrangiano de celosía, como usted da en su pregunta

$$ L = \sum_n\left[ \frac{m}{2}\dot{\phi}^2_n-\frac{k_s}{2}\left(\phi_{n+1}-\phi_n\right)^2\right]$$ y ahora queremos sustituirlo todo por campos en el límite del continuo. Así que primero tenemos que definir estos campos. Como las sumas van a ser sustituidas por integrales, es muy conveniente añadir el espaciado de la red a las definiciones de los campos campos propios . Así pues, definimos $\phi_n = \sqrt{a} \phi(na)$ (a partir de ahora $\phi$ seguido de un argumento entre paréntesis es nuestro nuevo campo continuo-límite). Así que reescribimos el Lagrangiano como $$ L = \sum_n a \left[\frac{m}{2}\dot{\phi}^2(na)-\frac{k_s}{2}\left(\phi(na+a)-\phi(na)\right)^2 \right]$$ y podemos transformar fácilmente la suma en una integral, con $dx = a$ $$ L = \int\! dx \left[\frac{m}{2}\dot{\phi}^2(x)-\frac{k_s}{2}\left(\phi(x+a)-\phi(x)\right)^2 \right]$$ ahora sólo tenemos que expandir la diferencia, y mantener el orden principal (que está bien, siempre y cuando esta diferencia es de hecho pequeño - es decir, las funciones son lo suficientemente suave) y obtenemos $$ L = \int\! dx \left[\frac{m}{2}\dot{\phi}^2(x)-\frac{k_sa^2}{2}\left(\partial_x\phi(x)\right)^2 \right]$$ tenga en cuenta que desde la perspectiva de la dimensionalidad, necesita $a^2$ y no $a$ allí (ya que $m/t^2$ tiene las mismas dimensiones que $k_s$ ).