Interpretación geométrica de las ecuaciones estructurales de Cartan

Question

Dada una conexión lineal en una variedad riemmaniana $M$ y $\phi^1,...,\phi^n$ un marco local para $T^*M$ podemos definir las 1-formas de conexión $\omega^j_i$ . Definimos las 2-formas de curvatura por $\Omega_i^j=\frac{1}{2}R_{klij}\phi^k \wedge \phi^l$ .

Tenemos las siguientes identidades también conocidas como primera y segunda ecuaciones de estructura de Cartan:

i) $d\phi^j=\phi^i \wedge \omega_i^j + \tau^j$ donde $\tau^1,...,\tau^n$ son las formas de torsión 2.

ii) $\Omega_i^j=d\omega_i^j-\omega_i^k \wedge \omega_k^j$

Tengo dos preguntas:

1)¿Tienen estas ecuaciones algún significado geométrico?

2) ¿Por qué son importantes estas ecuaciones y para qué sirven?

Answer 1

En $1$ -forma $\omega^i_j$ definen una conexión afín en el haz tangente, y la primera ecuación de estructura da la fórmula para el tensor de torsión. Es equivalente a la ecuación $$\nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y] = \tau(X,Y),$$ donde la conexión $\nabla$ se define mediante la función $1$ -forma $\omega^i_j$ . Pienso en estas ecuaciones como la descripción de lo que ocurre cuando transportas en paralelo un vector a lo largo de una familia de curvas de 1 parámetro con respecto a la conexión.

La segunda ecuación de estructura es equivalente a $$[\nabla_X, \nabla_Y]Z - \nabla_{[X,Y]}Z = R(X,Y)Z$$ y define el tensor de curvatura. Personalmente, estas ecuaciones me parecen inescrutables, pero si se estudia cómo varían las familias de geodésicas, el tensor de curvatura surge de forma natural como parte de la ecuación de Jacobi. Esto le da una bonita interpretación geométrica.

Answer 2

Creo que puede encontrar una respuesta en Geometría diferencial por Sharpe.