Conceptualización del emparejamiento de Weil para curvas elípticas (y campos numéricos)

Question

Hay dos explicaciones en Silverman ( Arithmetic of Elliptic Curves), una en ejercicios desarrollando la ley de reciprocidad de Weil ( para curvas algebraicas) y luego generalizando, y luego hay una prueba diferente, algo computacional (en mi opinión) en uno de los capítulos.

[También debo señalar que en el caso de curvas elípticas sobre números complejos existe una descripción bastante sencilla de este emparejamiento en términos de determinante de una matriz, véase Ribet Stein: Operadores de Hecke... por ejemplo].

Aunque entiendo las pruebas, he oído que existe una explicación conceptual de este emparejamiento

¿Existe una construcción uniforme para los símbolos de Hilbert en el caso de los campos numéricos, que es de nuevo una "forma" de emparejamiento de Weil?

Answer 1

La imagen unificadora que buscas es probablemente más transparente al revés: reescribiendo el emparejamiento de Weil en curvas elípticas (de hecho, esto funciona de forma más general para los jacobianos) para que parezcan símbolos de Hilbert. De hecho, una vez que se considera el emparejamiento de Weil como una construcción teórica de campo de clases y se pasa por la analogía estándar de campo de funciones a campo de números, se obtienen exactamente los símbolos de Hilbert. Esto se hace muy explícito en, por ejemplo, "The Weil Pairing and the Hilbert Symbol" de Everett Howe. Con la notación del artículo, compare la fórmula de emparejamiento de Weil

\begin{equation*} e_m([X],[Y])=\prod_{p}(-1)^{m(\text{ord}_P(D))(\text{ord}_P(E))}\frac{g^{\text{ord}_P(D)}}{f^{\text{ord}_P(E)}}(P) \end{equation*}

(aquí, $X$ y $Y$ son $m$ -divisores de torsión en el jacobiano de una curva con $mX=div(f)$ y $mY=div(g)$ con $P$ que recorre los puntos geométricos de la curva) con la fórmula de Schmidt para el símbolo de Hilbert, revela una sorprendente similitud.

No estoy seguro de si tengo algo coherente que decir sobre una explicación conceptual mejorada, aparte de que el enfoque de la teoría de clases y campos hace que el emparejamiento de Weil aparezca como una construcción natural y canónica, mientras que la construcción estándar del divisor parece más bien ad hoc al principio.

Answer 2

Mi opinión preferida sobre el emparejamiento Weil es a través del grupo theta de Mumford, que es un esquema de grupo $\mathcal{G}$ encajar en una secuencia exacta corta

$1 \rightarrow \mathbb{G}_m \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow E[n] \rightarrow 0$ .

Obsérvese que el propio grupo theta es una extensión central no conmutativa de un grupo conmutativo (esquema) por otro. En particular, si se toma $P_1, P_2 \in E[n]$ (Quiero decir $T$ -puntos para algunos $K$ -esquema $T$ ...) entonces (i) elevar a $\tilde{P}_1, \tilde{P}_2$ en $\mathcal{G}$ y (ii) formar el conmutador $e(P_1,P_2) = [\tilde{P}_1,\tilde{P_2}]$ entonces como esto mapea al conmutador $[P_1,P_2]$ en el grupo conmutativo $E[n]$ es decir, mapea trivialmente y, por tanto, vive en $\mathbb{G}_m$ . Además, ya que $\mathbb{G}_m$ es central, este elemento $e(P_1,P_2)$ es independiente de la elección de los ascensores. Tampoco es demasiado difícil comprobar que aterriza en $\mu_n$ (la enésima raíz de la unidad) dentro de $\mathbb{G}_m$ y de hecho que el mapa $e: E[n] \times E[n] \rightarrow \mu_n$ es no degenerado: es decir, pone $E[n]$ en la dualidad auto Cartier. Para todo esto, véase el libro de Mumford Variedades abelianas .

De hecho, una de las ventajas de este enfoque es que se generaliza con mucha gracia a la configuración de una variedad abeliana polarizada $(A,L)$ .

Esta interpretación del emparejamiento de Weil me ha sido de vital utilidad en mis investigaciones sobre la cohomología de Galois de las variedades abelianas: véase, por ejemplo $\S 6$ de este documento donde se estudian los grupos theta en un contexto cohomológico de Galois más general. (No soy el único ni siquiera el primero que ha estudiado tales cosas: véase especialmente el trabajo de Polishchuk de 2002 que aparece en la bibliografía).

Añadido : Los símbolos de Hilbert también aparecen en mi trabajo, por decir algo. Desde el punto de vista cohomológico no es de extrañar, ya que el símbolo de Hilbert es en realidad el producto de copas $H^1(K,\mu_n) \times H^1(K,\mu_n) \rightarrow H^1(K,\mu_n^{\otimes 2})$ en caso de que $\mu_n \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ mientras que $E[n] \cong \mu_n \times \mu_n \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ cuando esté lleno $n$ -torsión sobre $K$ . El emparejamiento de Weil se define sin ningún supuesto de racionalidad sobre el $n$ -pero resulta mucho más difícil trabajar con él explícitamente cuando la estructura del módulo de Galois en $E[n]$ no es trivial.

Answer 3

Así es como me gusta entender el binomio Weil.

El dual de una variedad abeliana $A$ es el esquema $\hat{A} = \mathrm{Hom}(A, B\mathbf{G}_m)$ . Aquí $B\mathbf{G}_m$ es la pila de haces de líneas y $\mathrm{Hom}$ se refiere a homomorfismos de apilamientos de grupos. Por lo tanto, se tiene un emparejamiento perfecto

$A \times \hat{A} \rightarrow B\mathbf{G}_m$ .

Esto significa algo relativamente concreto: Para cada par de puntos $(a, a') \in A \times \hat{A}$ se tiene un espacio vectorial unidimensional $L(a,a')$ junto con los isomorfismos

$L(a_1 + a_2, a') \simeq L(a_1, a') \otimes L(a_2, a')$ ,

$L(a, a'_1 + a'_2) \simeq L(a, a'_1) \otimes L(a, a'_2)$

satisface algunas condiciones de compatibilidad (puede encontrar los detalles de esta definición en el apartado de biextensiones; hay una buena explicación en SGA7). Una de estas compatibilidades es que los dos isomorfismos

$L(a_1 + a_2, a'_1 + a'_2) \simeq L(a_1, a'_1) \otimes L(a_1, a'_2) \otimes L(a_2, a'_1) \otimes L(a_2, a'_2)$

deben coincidir.

Una consecuencia de la definición es que $L(0, a') = L(0 + 0, a') \simeq L(0, a') \otimes L(0, a')$ lo que significa que $L(0, a')$ se trivializa canónicamente, al igual que $L(a, 0)$ por simetría. Además, las dos trivializaciones de $L(0,0)$ debe ser el mismo.

Si elegimos un $n$ -punto de torsión $a$ de $A$ entonces $L(a, a')$ será un haz de líneas con una trivialización de su $n$ -ésima potencia del tensor. Del mismo modo, si $a'$ también es un $n$ -punto de torsión entonces $L(a,a')^{\otimes n}$ vendrá con dos trivializaciones procedentes de su identificación con los haces lineales canónicamente trivializados $L(na, a') = L(0,a')$ y $L(a, na') = L(a,0)$ . Comparando estas dos trivializaciones, obtenemos un elemento de $\mathbf{G}_m$ y, por tanto, un emparejamiento

$A[n] \times \hat{A}[n] \rightarrow \mathbf{G}_m$ .

Sin embargo, observamos que las trivializaciones inducidas de $L^{\otimes n^2} \simeq L(na, na')$ deben coincidir. Por lo tanto, la imagen de este mapa en realidad aterriza en $\mathbf{G}_m[n] = \mu_n$ . Esto da el par de Weil

$A[n] \times \hat{A}[n] \rightarrow \mu_n$ .

No conozco ninguna forma de interpretar el símbolo de Hilbert de esta manera, pero me interesaría mucho que alguien me sugiriera una.

Answer 4

No sé si será útil, pero escribí un artículo sobre encuestas cuyo título podría haber sido "¿De dónde vienen realmente los emparejamientos?". Fue para una conferencia de criptografía sobre emparejamientos. Intenté explicar, desde un punto de vista functorial, los orígenes y relaciones de los diversos emparejamientos sobre variedades abelianas asociados a los nombres de Weil, Tate, Lichtenbaum, Neron, Cassels, ... Es sólo una encuesta, por lo que carece de muchos detalles, pero puede ser útil para proporcionar una visión general. Aquí está la referencia.

J.H. Silverman, A survey of local and global pairings on elliptic curves and abelian varieties, Pairing-Based Cryptography (PAIRING 2010), M. Joye, A. Miyaji, A. Otsuka, eds, Lecture Notes in Computer Science 6487 Springer-Verlag, Berlín, 2010, 377-396.