Códigos, celosías, álgebras de operadores de vértice

Question

Al final de las "Notas sobre el capítulo 1" del prefacio de la tercera edición de Embalajes de esferas, celosías y grupos Conway y Sloane escriben lo siguiente:

Por último, no podemos resistirnos a llamar la atención sobre la observación de Frenkel, Lepowsky y Meurman, según la cual álgebras de operadores de vértice (o teorías de campos conformes) son a los entramados como los entramados son a los códigos.

Me gustaría entender mejor cuál es la analogía precisa que se hace aquí.

A través de mis intentos de leer el libro de Frenkel, Lepowsky y Meurman, soy consciente de la historia sobre cómo los objetos "excepcionales",

Código Golay ---> Celosía Leech ---> Módulo Moonshine,

forman una jerarquía con grupos de simetría cada vez más grandes,

Grupo Mathieu M ₂₄ ---> Grupo Conway Co ₁ ---> Grupo de monstruos,

y cómo esta jerarquía condujo a la conjetura de que los resultados de unicidad para el código de Golay y la red de Leech se trasladan a una propiedad de unicidad del módulo Moonshine. Frenkel, Lepowsky y Meurman hablan de muchas analogías entre las teorías de códigos, celosías y álgebras de operadores de vértice. Entiendo algo de las conexiones entre códigos y celosías, pero hasta ahora entiendo muy poco de álgebras de operadores de vértice y de su conexión con celosías (a pesar de tener un poco de formación física relevante en teoría de campos conformes).

Mis preguntas son

1. ¿Los paralelismos a los que aludíamos antes son una característica peculiar de estas estructuras excepcionales, o algo que se da de forma más general?

2. ¿Existe algún "ejemplo de bebé" en el que se puedan observar estas correspondencias, algo basado en objetos más pequeños y elementales?

Answer 1

Creo que la analogía que describes no puede hacerse con precisión con nuestra tecnología actual. Por ejemplo, la palabra "functor" no parece haber hecho su aparición todavía en este contexto.

Si tienes un código, hay métodos para construir celosías utilizándolo, pero algunas de las construcciones (como la celosía de Leech) requieren propiedades especiales del código. Si tienes una red, hay métodos para construir álgebras de operadores de vértice con ella (por ejemplo, la red VOA), pero algunas de las construcciones, como los orbifolds, dependen de propiedades de la red, como la existencia de automorfismos de ciertos órdenes. En el caso del módulo lunar, necesitamos la propiedad $-1$ automorfismo de Leech, que no es particularmente especial para retículos. Conjeturalmente (véase el trabajo de Dong, Mason, y Montague 1994-95), podríamos utilizar cualquier punto fijo libre automorfismo de Leech para obtener un VOA isomorfo, y que es algo más especial.

Una clase de "ejemplos de bebé" que surgen es cuando se toma la red de raíces de un grupo algebraico simple (o más generalmente, reductor). Esta red tiene una acción del grupo de Weyl. El álgebra del operador de vértice de este enrejado tiene una acción del álgebra de Lie de Kac-Moody correspondiente (más en general, creo que actúa el grupo de bucles centralmente extendido). Esta es una de las formas más naturales de construir $E_8$ de su entramado.

Me temo que no estoy cualificado para describir buenos ejemplos bebés de la transición de los códigos a los entramados.