¿Existen sistemas dinámicos físicamente realizables en los que la trayectoria verdadera no es una mínimo ¿trayectoria de acción?
Formalmente, la mecánica lagrangiana sólo exige que la trayectoria sea un extremo (¿o punto de silla de montar?), pero todos los casos que conozco son, de hecho, un mínimo. ¿Son las otras posibilidades relevantes para modelizar algún sistema físico?
Como se demuestra en este documento La trayectoria nunca puede maximizar la acción, sino que puede situarse en un punto de equilibrio en los casos en los que el potencial tenga la variación espacial adecuada (al menos parcialmente repulsivo) y en los que el estado final se tome lo suficientemente lejos "aguas abajo" (más allá de lo que estos autores denominan "foco cinético").
Por no mencionar que hay casos en los que el extremo local de la acción no es un camino físicamente realizable. Consideremos el plano con todos los puntos que satisfacen $y > |x|$ eliminado. ahora, considere un punto de partida de $(-2,1)$ y un punto final de $(2,1)$ en esta variedad, con el Lagrangiano $\frac{1}{2}m\left({\dot x}^{2} + {\dot y}^{2}\right)$ . Evidentemente, el mínimo del Lagrangiano llevará a la partícula por una trayectoria que abandona el colector.
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