Es un campo $K$ real cerrado si es cerrado bajo $n$ -¿Raíces?

Question

Un campo $K$ es real cerrado si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. para cada $a \in K$ hay $b \in K$ tal que $a = b^2$ o $a = -b^2$ y
2. todo polinomio de grado impar tiene una raíz en $K$ .

Ahora dejemos que $K$ sea un campo ordenado tal que $a^{\frac{1}{n}} \in K$ para cada $a \in K$ con $a > 0$ y número natural $n \in \mathbb{N}$ . ¿Se deduce que $K$ ¿está cerrado de verdad?

Answer 1

Pedir que todo polinomio de grado impar tenga una raíz en $K$ es mucho más fuerte que pedir que $K$ es cerrado bajo todas $n$ -raíces de elementos positivos. Recordemos el famoso teorema de Galois de que existen polinomios de grado $5$ y superior sobre $\mathbb{Q}$ cuyas raíces no pueden expresarse mediante las operaciones de campo y $n$ las raíces...

Explícitamente, dejemos que $K$ sea el campo ordenado obtenido comenzando por $\mathbb{Q}$ y uniendo iterativamente todos los reales $n$ -raíces de elementos positivos. $K$ está cerrado bajo $n$ -de elementos positivos, pero no es real cerrado porque, por ejemplo, el polinomio $x^5-x-1$ no tiene raíz en $K$ .