RESPUESTA EDITADA
Determinar el número de homomorfismos entre $\Bbb{Z}_{10} \times \Bbb{Z}_{25}$ y $S_4$ .
Toma, $\Bbb{Z}_n$ son los números enteros de $0$ a $n-1$ con suma módulo $n$ . $S_4$ es el grupo simétrico (permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ ).
I piense en el número de homomorfismos entre estos grupos es $9$ ¿Puede alguien verificarlo?
EDIT: Mi razonamiento es que $\langle(1,0),(0,1)\rangle$ genera el grupo de productos anterior y el orden de estos elementos son 10 y 25 respectivamente. Por lo tanto, el orden de los elementos a los que se asignan estos elementos en $S_4$ deben dividir 10 y 25 respectivamente.
Es decir.
$o((1,0)) \in \{1,2,5,10\}$
$o((0,1)) \in \{1,5,25\}$
Ahora considerando $S_4$ Creo que hay un elemento de orden $1$ (identidad) y $9$ elementos de orden $2$ (tipos de ciclo 2 + 1 + 1 [6] y 2 + 2 [3], ¿verdad?) No hay elementos de orden de los otros divisores. Por lo tanto, las posibilidades son que el primer elemento de arriba puede asignar a $9$ y el segundo sólo se puede asignar a la identidad, por lo que, $9$ homomorfismos en total?
¿Alguien ha visto un error en mi razonamiento?
Gracias.
