Una forma más rápida de encontrar la serie Taylor

Question

Estoy tratando de averiguar si hay una mejor manera de enseñar el siguiente problema de la serie de Taylor. Puedo hacer el problema yo mismo, ¡pero mi solución no parece muy agradable!

Digamos que quiero encontrar el primer $n$ términos (pequeños $n$ - digamos 3 o 4) en la serie de Taylor para

$$ f(z) = \frac{1}{1+z^2} $$

alrededor de $z_0 = 2$ (o más generalmente alrededor de cualquier $z_0\neq 0$ para que sea interesante) Obviamente, dos métodos que se me ocurren son 1) calcular las derivadas $f^{(n)}(z_0)$ lo que rápidamente se convierte en un poco de lío, y 2) hacer un cambio de variables $w = z-z_0$ y luego calcular la expansión de la serie de potencias para

$$ g(w) = \frac{1}{1+(w+z_0)^2} $$ y tratar de simplificarlo, lo que también se convierte en un poco de lío. Ninguno de los dos enfoques parece especialmente rápido o elegante. ¿Alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $g(w) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n w^n$ .

Entonces $(w^2+4w+5) \; g(w) = 1$ implica $$\begin{align} 5 a_0 &= 1 \\ 4 a_0 + 5 a_1 &= 0 \\ a_0 + 4 a_1 + 5 a_2 &= 0 \\ a_1 + 4 a_2 + 5 a_3 &= 0 \\ \text{etc.} \end{align}$$

que luego se puede resolver para el $a_n$ 's de forma escalonada.

Answer 2

Esta es una forma de encontrar los primeros términos para $z_0=2$ , utilizando su idea de dejar que $w=z-2$ :

$\displaystyle\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1+(w+2)^2}=\frac{1}{5+w^2+4w}=\frac{\frac{1}{5}}{1-(-\frac{w^2+4w}{5})}$

$\displaystyle\frac{1}{5}\left(1-\frac{w^2+4w}{5}+\frac{(w^2+4w)^2}{5^2}-\frac{(w^2+4w)^3}{5^3}+\cdots\right)$

$\displaystyle=\frac{1}{5}\left(1-\frac{w^2+4w}{5}+\frac{w^2(w+4)^2}{25}-\frac{w^3(w+4)^3}{125}+\cdots\right)$

$\displaystyle=\frac{1}{5}-\frac{4}{25}w+\frac{11}{125}w^2-\frac{24}{625}w^3+\cdots$

Answer 3

Para este problema en particular, intente una sustitución diferente: $x=z^2$ .

Entonces $$ \frac1{1+x} = \sum (-1)^nx^n$$ así que $$ \frac1{1+z^2} = \sum (-1)^nz^{2n}$$

El problema de encontrar una forma cerrada no siempre es fácil. Si se puede encontrar una forma cerrada para el coeficiente de $z^k$ en $$ \frac{1}{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)\cdots} $$ cuéntame para poder robarte el resultado, publicarlo y hacerme famoso. (LOL - esto será una forma cerrada para el número de partición de $k$ )