enunciado muy simple pero como encontrar inf, sup

Question

Tengo problemas con este enunciado. necesito simplificar este enunciado y encontrar, si los hay, el mínimo, el máximo, el ínfimo y el suprimo del mismo.

la declaración es esta:

$A:= (]1,2[ \cup ]2,3]) \cup \{2\} $

Lo he simplificado todo lo que he podido. $ A:=\{x \in A | 1<x \leq 3 \}$

ahora mis intentos: minimo es 2 y maximo es 3 y no se como encontrar y definir el infimo y el supremum.

alguien me puede ayudar. conozco la definición de infimum y supremum:

$Infimum=$ el máximo de todos los límites inferiores
$Supremum=$ el mínimo de todos los límites superiores

gracias por su ayuda

Answer 1

Es evidente que $3$ es un límite superior de $A$ para cada número de $A$ es $\le 3$ . Y no podemos salirnos con la nuestra con un límite superior más barato que $3$ ya que $3$ está en nuestro conjunto.

También está claro que $1$ es un límite inferior de $A$ . Sin número $\gt 1$ es un límite inferior, para el intervalo $]1,2[$ contiene números arbitrariamente cercanos a $1$ .

(Si quieres ser muy muy formal, supongamos por el contrario que $1+\epsilon$ es un límite inferior de $A$ donde $\epsilon$ es positivo. Podemos suponer que $\epsilon\lt 1$ . El intervalo $]1,2[$ contiene el número $1+\frac{\epsilon}{2}$ que es claramente $\lt 1+\epsilon$ contradiciendo la suposición de que $1+ \epsilon$ es un límite inferior).

Desde $1$ es un límite inferior de $A$ y ningún número $\gt 1$ es un límite inferior, se deduce que $1=\inf A$ .

Answer 2

Te equivocas. Un conjunto acotado no vacío de reales siempre tiene un ínfimo y un supremo, pero no siempre mínimo y máximo (dependiendo de sus costumbres locales, también puede aceptar $-\infty$ como el ínfimo de un conjunto no acotado por abajo y $+\infty$ como infimum od el conjunto vacío, similar para supremum). Si tiene mínimo/máximo, son los mismos que el ínfimo/suprimo.

De su conjunto, $2$ definitivamente no es el mínimo como $\frac32\in A$ y $\frac32<2$ . El supremum es el límite superior menor, el infimum el límite inferior mayor. Como calentamiento: ¿Puedes dar un número que es y una que es no ¿un límite superior? ¿Lo mismo con el límite inferior? ¿Puede precisarlo? ¿Dónde está la frontera entre ser y no ser un límite superior/inferior? ¿Los casos límite pertenecen al conjunto $A$ ¿o no?