Célula de Voronoi de celosías con el mismo perfil

Question

Definición 1. Dado un cuerpo $V$ en $\mathbb R^n$ , la función $p_V\colon \mathbb R_+\to \mathbb R_+$ $$p_V(r)=\mathop{\rm vol} [V\cap B_r(0)]$$ se llamará perfil de $V$ .

Definición 2. Defina Célula de Voronoi de celosía $L$ en $\mathbb R^n$ como $$V_L=\{\,x\in \mathbb R^n;\,|x|\le |x+\ell| \ \text{for any}\ \ell\in L\,\}.$$

Pregunta. ¿Puede ocurrir que las celdas de Voronoi de un par de celosías tengan el mismo perfil, pero no sean isométricas?

Comentario

• La pregunta se inspira en éste .

Answer 1

Mis disculpas por un comentario trivial (no una respuesta), bien entendido por el OP. Pero tal vez esta ilustración inspire a avanzar en esta cuestión sin resolver desde hace tiempo, e invitar a la aclaración si estoy malinterpretando.

Abandono el requisito de que $V$ sea la célula de Voronoi de una red, y sólo mirar los cuerpos convexos:
   
Aquí las dos formas tienen el mismo "perfil" en el sentido de Anton: intersecan bolas centradas en el origen en los mismos volúmenes. Pero no son congruentes, no son equivalentes bajo una isometría. Así que el reto consiste en conseguir algo similar para las celdas de Voronoi en celosía.