Una pregunta sobre las propiedades de una función límite.

Question

Supongamos que $f_n: A \rightarrow \mathbb{R^+}$ es una secuencia creciente de funciones medibles donde $A \subseteq \mathbb{R}$ y supongamos la secuencia $\left( \int_A f_n d \mu \right)_{n \in \mathbb{N}}$ está limitada. Sea $f : A \rightarrow [0 , \infty]$ se define por $f(x) = \sup\{ f_n(x) \mid n \in \mathbb{N} \}$ . Quiero demostrar que $f_n \rightarrow f$ puntualmente, y también quiero demostrar que $f$ es finito en casi todas partes.

Para la primera parte $x \in A$ y que $\varepsilon > 0$ . Si $f(x) = \infty$ entonces $\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x) = \infty$ . Si no, entonces por definición de supremum existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $f(x) - \varepsilon < f_{n_0}(x).$ Desde $f_n$ aumenta, se obtiene $| f(x) - f_n(x) | < \varepsilon$ para todos $n \geq n_0$ . Así $f_n \rightarrow f$ puntualmente.

Mostrar $f$ es finito en casi todas partes, primero demuestro que cada $f_n$ es finito en casi todas partes. Fije $n \in \mathbb{N}$ y para $j \in \mathbb{N}$ deje $E_j = \{ x \in A \mid f_n(x) \geq j \}$ . Entonces, a partir de otros resultados, tenemos que $\mu\left( E_j\right) \leq \frac{1}{j} \int_E f_n d \mu$ . Por supuesto $\int_A f_n d \mu$ está acotada, por lo que $\lim_{j \rightarrow \infty}\mu(E_j) = 0$ . Tenga en cuenta también que $f_n^{-1}\left( \{ \infty \} \right) = \bigcap_{j = 1}^\infty E_j$ . Desde $(E_j)_{j \in \mathbb{N}}$ es decreciente y $\mu(E_1) < \infty$ tenemos que $\mu\left( f_n^{-1}\left( \{ \infty \} \right) \right) = \mu\left( \bigcap_{j = 1}^\infty E_j \right) = \lim_{j \rightarrow \infty}\mu(E_j) = 0$ . Así, cada $f_n$ es finito en casi todas partes.

Y en esta parte estoy atascado, no estoy seguro de cómo mostrar que $f$ también es finito en casi todas partes. Sospecho que debería usar el hecho de que la secuencia $\left( \int_A f_n d \mu \right)_{n \in \mathbb{N}}$ está limitada.

Answer 1

Por el lema de Fatou, tenemos $$\int_A f d\mu \le \liminf_n \int_A f_n d\mu$$ y la rhs está limitada por alguna constante. Esto implica que $f \in L^1(A)$ y, por tanto, finito en casi todas partes.

Answer 2

Supongamos que $f$ no es finito en casi ninguna parte. Entonces existe un conjunto $S\subset A$ con medida $\mu (S)>0$ tal que $f_n(x)\to\infty$ en $S$ .

Pero como $f_n(x)\cdot 1_S\leq f_n(x)$ para todos $x\in A$ tenemos $$\begin{align*} \int_S f_n(x)dx\leq\int_A f_n(x)dx \end{align*}$$ Pero $\int_A f_n(x)dx$ está acotada, por lo que tenemos una función dominante $kf_m(x)$ de $f_n(x)$ para algunos $k\in\mathbb{R},m\in\mathbb{N}$ .

Pero $f_n(x)\to\infty$ en $S$ por lo que el teorema de convergencia dominante nos daría que $\int_S f_n(x)dx\to\infty$ lo que implica $\int_A f_n(x)dx\to\infty$ . Pero estas integrales están acotadas, lo cual es una contradicción.