Curva paramétrica en la superficie del cilindro

Question

Sea $r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t\geq0$ sea una curva paramétrica con $r(0)$ se encuentra en la superficie del cilindro $x^2+2y^2=C$ . Sea el vector tangente de $r$ es $r'(t)=\left( 2y(t)(z(t)-1), -x(t)(z(t)-1), x(t)y(t)\right)$ . Me ayudarías a demostrar que :

(a) La curva siempre se encuentra en la superficie del cilindro $x^2+2y^2=C$ .

(b) La curva $r(t)$ es periódica (podemos encontrar $T_0\neq0$ tal que $r(T_0)=r(0)$ Si reducimos el valor de C, la curva paramétrica $r(t)$ más cerca del origen (Podemos hacer una Vecindad que contenga esta curva paramétrica)

Mi esfuerzo:

(a) Sea $V(x,y,z)=x^2+2y^2$ . Si $V(x,y,z)=C$ entonces $\frac{d}{dt} V(x,y,z)=0$ . Desde $\frac{d}{dt} V(x,y,z)=(2x,4y,0)\cdot (x'(t),y'(t),z'(t))=2x(2y(z-1))+4y(-x(z-1))=0$ entonces $r(0)$ sería parpendicular a la normal de la superficie del cilindro. Por lo tanto el vector tangente debe estar en el plano tangente del cilindro. Así que $r(t)$ debe estar en la superficie del cilindro.

(b) De $z'=xy$ analizo el signo de $z'$ (en el 1er cuadrante z'>0 por lo que la componente z de $r(t)$ creciente y etc.) y concluir que si $r(t)$ nunca se desborda cuando se mueve a otro octan ( Pero no puedo garantizar $r(t)$ accros otro octan.). También considero el caso en que $(x=0, y>0), (x=0, y<0,z>1), (x>0, y=0,z>1$ etc.) y dibujar el vector $r'(t)$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Introducción de nuevas coordenadas $\bar x$ , $\bar y$ , $\bar z$ vía $$x:=\bar x,\quad y:={1\over\sqrt{2}}\bar y,\quad z:=1+{1\over\sqrt{2}}\bar z$$ nuestra curva satisface ahora las ecuaciones diferenciales $$\bar x'(t)=\bar y(t)\>\bar z(t),\quad \bar y'(t)=-\bar x(t)\>\bar z(t),\quad \bar z'(t)=\bar x(t)\>\bar y(t)\ ;$$ en otras palabras, es una solución del sistema ODE (ahora omito las barras) $$x'=yz,\quad y'=-xz, \quad z'=xy\qquad\bigl((x,y,z)\in{\mathbb R}^3\bigr)\ .\tag{1}$$ Tras introducir las coordenadas cilíndricas $$x:=r\cos\phi,\quad y:=r\sin\phi$$ el sistema $(1)$ pasa a $$r'=0,\quad r\>\phi'=-r\>z, \quad z'=r^2\cos\phi\sin\phi\ .\tag{2}$$ Aquí la primera ecuación dice que $r={\rm const.}$ a lo largo de todas las curvas de solución. (Esto significa que en la configuración original las curvas solución permanecen en los cilindros $x^2+2y^2={\rm const.}$ ) Así que a partir de ahora la variable $r$ se considerará como una constante positiva dada, y bastará con considerar las curvas solución en el $(\phi,z)$ -es decir, en el cilindro de radio $r$ desarrollado en el avión.

Multiplicación de las dos ecuaciones $z=-\phi'$ y $z'=r^2\cos\phi\sin\phi$ obtenemos que $$0=2zz'+r^2\sin(2\phi)\phi'=\left(z^2-{r^2\over2}\cos(2\phi)\right)'\ .$$ Se deduce que a lo largo de las curvas solución tenemos $$\bigl(f(\phi,z):=\bigr)\quad z^2-{r^2\over2}\cos(2\phi)={\rm const.}\quad.$$

El gráfico de contorno de $f$ muestra que estas curvas son efectivamente cerradas cuando se consideran como curvas sobre el cilindro. Algunas de ellas rodean el cilindro, y otras no. Te dejo que demuestres que todas estas órbitas cerradas se completan en tiempo finito.

Pero hay una advertencia: según $(1)$ los puntos con $z=0$ y $x\>y=0$ son estacionarios. De ello se deduce que las trayectorias que terminan en los puntos $(\phi,z)$ con $z=0$ y $\phi$ un múltiplo impar de ${\pi\over2}$ (¡véase la figura!) no son periódicas en el tiempo. Más bien toman el tiempo de $-\infty$ a $+\infty$ conectando dos de estos puntos especiales. De hecho se comprueba fácilmente que $(2)$ con condiciones iniciales $r(0)=1$ , $\phi(0)=0$ , $z(0)=1$ tiene las soluciones $$r(t)\equiv1,\quad \phi(t)=-\arcsin\bigl(\tanh t\bigr),\quad z(t)={1\over\cosh t}\qquad(-\infty<t<\infty)\ .$$

Answer 2

Podemos reparametrizar $S=\{(\sqrt{C}\cos u,\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u, v): u,v\in \mathbb{R}\}$ desde $(\sqrt{C}\cos u)^2+2\left(\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u\right)^2=C$ . Sea $r(t)= (x(t),y(t),z(t))$ y $r(0)=(x_0,y_0,z_0)$ . Defina $V(x,y,z)=x^2+2y^2$ . Desde $V(x,y,z)=C$ entonces $\frac{dV}{dt}=0$ . Pero, por la regla de la cadena obtenemos $0=\frac{dV}{dt}=\nabla{V}\cdot(x',y',z')$ por lo que el vector tangente de la curva parametrizada que intersecan $S$ en un punto siempre parpendicular con $\nabla{V}$ . Desde $r(0)$ estar en $S$ y $\nabla{V}$ parpendicular con el plano tangente de $S$ en $r(0)$ entonces $r'(0)$ esté en el plano tangente de $S$ en $r(0)$ . Por este argumento, podemos concluir que $r(t)$ debe estar en $S$ . Desde $S=\{(\sqrt{C}\cos u,\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin u, v): u,v\in \mathbb{R}\}$ entonces $x(t)=\sqrt{C}\cos (t-t_0)$ y $y(t)=\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin (t-t_0)$ con $t_0$ satisfaciendo $x_0=\sqrt{C}\cos t_0$ y $y_0=-\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin t_0$ . Desde $z'=xy$ entonces $z'(t)=\frac{C}{2\sqrt{2}}\sin(2t-t_0)$ Por lo tanto $z(t)=-\frac{C}{4\sqrt{2}}\cos(2t-t_0)$ . Desde $r(2\pi)=(\sqrt{C}\cos (2\pi-t_0),\frac{\sqrt{C}}{\sqrt{2}}\sin (2\pi-t_0),-\frac{C}{4\sqrt{2}}\cos(2\pi-t_0))=(x_0,y_0,z_0)=r(0)$ entonces $r(t)$ es periódica.