Dada una velocidad inicial conocida, ¿cómo puedo determinar la distancia que mi coche recorrerá por inercia antes de detenerse, teniendo en cuenta la resistencia al viento?

Question

Estoy asumiendo que la resistencia del aire es la única fuerza que actúa sobre mi coche (es decir: no hay resistencia a la rodadura, no hay arrastre del motor, no hay gravedad, no hay tráfico). También estoy suponiendo que el coche es una esfera mágica levitando con un radio tal que la fórmula de resistencia del aire se simplifica a: $$a = \frac {v^2} 2$$ Mi objetivo final es crear una función, $D(v_0)$ que me dirá qué distancia recorrerá el auto antes de detenerse $v_0$ es la velocidad a la que arranca.

Empecé con esta fórmula: $$D(v_0) = \int _ 0 ^ T V(t) \ \mathrm d t \text ,$$ donde $T$ es el tiempo que tardaría el coche en detenerse por completo.

El coche se detiene por completo cuando $V(t) = 0$ para que pueda encontrar $T$ estableciendo $V(t) = 0$ y resolviendo para $t$ . Entonces puedo enchufar $T$ de nuevo en $D(v_0)$ ¡para conseguir la fórmula que busco!

He calculado que la velocidad en un momento dado es: $$V(t) = V_0 - \int _ 0 ^ t \text {(air resistance at time $ t' $)} \ \mathrm d t' \text .$$ La cuestión es que la resistencia del aire depende de la velocidad actual. Cuando intento expandirlo, obtengo: $$V(t) = V_0 - \int _ 0 ^ t \frac {V(t')^2} 2 \ \mathrm d t' \text .$$ Ahora tengo $V(t)$ definido en términos de sí mismo, lo que no es de mucha ayuda. ¿Adónde quiero llegar?

¿Cómo puedo encontrar la integral de una función que hace referencia a sí misma de esta manera ?

Answer 1

En resumen, no se puede definir una función $\Delta x(v_o)$ .

Lo que deberías hacer es empezar con la Segunda Ley de Newton:

$F = m*a$ o $F = m\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$

La única fuerza que tienes es la resistencia del aire, así que tendrás lo siguiente.

$-\frac{v(t)^2}{2} = m\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$

Ahora lo que puedes hacer es tratar las derivadas como "fracciones" y multiplicar ambos lados de la ecuación por $\mathrm{d}t$ y dividir ambos lados por $\frac{v(t)^2}{2}$ :

$-\mathrm{d}t = \frac{2*m}{v(t)^2}\mathrm{d}v(t)$

Ahora puedes integrar ambas partes:

$-\int\mathrm{d}t = 2*m\int v^{-2}\mathrm{d}v$

Lo que resulta en:

$-t + C = -2*m*v(t)^{-1}$

Sustituyendo $t = 0$ y $v(0)=v_o$ podemos calcular el valor de C:

$C = -2*m*v_o^{-1}$

Y ahora, podemos aislar $v(t)$

$-t -2*m*v_o^{-1} = -2*m*v(t)^{-1}$

$v(t) = \frac{v_o}{1 + \frac{t*v_o}{2*m}}$

Podemos ver un problema que surge en la formulación de este problema, la ecuación para el final no tiene ceros, y sólo se aproxima a cero en el límite de $t \to \infty$ . Esto sucede porque a medida que la velocidad se hace más pequeña, la deceleración se hará más pequeña y nunca será suficiente para detener el movimiento. Como no se puede calcular el momento en que el coche se detendrá, no se puede definir una función $\Delta x(v_o)$ .