Con respecto a los grupos que tienen la propiedad de que la intersección de dos subgrupos no triviales cualesquiera es no trivial

Question

El grupo de los números racionales $(\mathbb Q,+)$ tiene una propiedad interesante , que la intersección de cualesquiera dos subgrupos no triviales de este grupo es no trivial . Llamemos a esta propiedad "propiedad de intersección no trivial" o abreviadamente PIN. Ahora es fácil ver que esta propiedad NIP es invariante bajo isomorfismo de grupo , por lo que si $G$ es un grupo que tiene NIP , entonces $G$ no puede ser isomorfo con $H \times K$ (porque si $|H|,|K|>1$ entonces $\{e_H\} \times K , H\times \{e_K\}$ son subgrupos no triviales de $H \times K$ con intersección trivial ) para cualquier grupo $H$ y $K$ .

Busco más ejemplos de grupos que tengan NIP, ¿existen infinitos grupos no isomorfos de este tipo? Tambien, ¿se han estudiado este tipo de grupos? Cualquier referencia o enlace será de gran ayuda. Gracias de antemano

NOTA : Todos los grupos considerados deben entenderse con más de un elemento

Answer 1

Usted está pidiendo grupos en los que cada subgrupo no trivial es esencial .

Podemos clasificar todos abeliano grupos con esta propiedad, como se indica a continuación.

Insertar $G$ en su envoltura inyectiva $D$ que es un grupo divisible que es una extensión esencial de $G$ . Si $H,K$ son subgrupos no triviales de $D$ entonces $H\cap G$ y $K\cap G$ son subgrupos no triviales de $G$ (aquí utilizamos que es una extensión esencial). Pero entonces su intersección $(H\cap G)\cap (K\cap G)$ no es trivial, por lo que $H\cap K$ no es trivial.

Así que $D$ también es un grupo abeliano con NIP. Dado que $D$ es divisible, por el teorema de la estructura es un producto directo de copias de $\mathbb{Q}$ y Grupos Prüfer . Dado que un grupo con NIP no puede ser un producto directo, $D$ es igual a $\mathbb{Q}$ o un grupo Prüfer.

Así que si $G$ es libre de torsión, es un subgrupo de $\mathbb{Q}$ . Si tiene torsión, entonces es un subgrupo de un grupo de Prüfer, lo que significa que o bien es cíclico de orden de potencia primo, o bien es un grupo de Prüfer.

El caso no abeliano parece sustancialmente más difícil. Como señala Jyrki Lahtonen, el grupo de cuaterniones $Q_8$ es un ejemplo finito; estaría bien saber si existen ejemplos infinitos.

Una observación: un grupo $G$ con NIP que tenga un elemento de torsión debe tener un único subgrupo mínimo de orden $p$ . Creo que es sabido que tal $G$ debe ser abeliano si $p>2$ pero no sé si hay una prueba sencilla de esto, o una caracterización de la no-abeliana $2$ -con un único subgrupo mínimo. (studiosus y Jyrki mencionan algunas clases infinitas de ejemplos)

Answer 2

Los grupos ${\mathbb Z}_{p^{\infty}}$ con $p$ primos tienen esta propiedad, y hay infinitos de estos - uno por cada primo. De hecho, tienen un único subgrupo mínimo no trivial, que es cíclico de orden $p$ . Aunque los grupos son infinitos, todos sus subgrupos propios son cíclicos finitos $p$ -grupos.

Se podría definir ${\mathbb Z}_{p^{\infty}}$ el grupo multiplicativo de todos los complejos $p^k$ -raíces de la unidad para algunas $k$ donde $p$ es un primo fijo.

Answer 3

También hay (infinitamente muchos) grupos no abelianos finitamente generados que satisfacen NIP. Concretamente, A.Olshansky construyó (para cada número primo suficientemente grande $p$ ) un grupo finitamente generado, que denotaré $G_p$ que cumplan las siguientes propiedades:

1. $G_p$ no tiene torsión.

2. $G_p$ contiene un subgrupo cíclico infinito central $Z< G_p$ tal que el grupo cociente $G_p/Z$ es infinito y cada elemento no trivial de $G_p/Z$ tiene orden $p$ .

En particular, cualesquiera dos subgrupos no triviales $A, B < G_p$ tienen intersección no trivial con $Z$ y, por lo tanto, $A\cap B$ no es trivial.

A. Olshansky, "Geometry of defining relations in groups", Springer Verlag, 1991.

Answer 4

Como ejemplos de grupos finitos con esta propiedad permítanme añadir los grupos de cuaterniones (generalizados). El grupo de cuaterniones $Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ ocurre con bastante frecuencia en los cursos introductorios. Tiene la propiedad dada porque $-1$ es el único elemento de orden dos, y por tanto está contenido en todo subgrupo no trivial.

La versión generalizada $Q_{2^n}, n>3,$ se define por $$ Q_{2^n}=\langle a,b\mid a^{2^{n-2}}=b^2, b^4=1, bab^{-1}=a^{2^{n-2}+1}\rangle. $$ Es más fácil para mí pensar en esto como el grupo generado por las matrices complejas $$ A=\left(\begin{array}{cc}\zeta&0\\0&\zeta^{-1}\end{array}\right), \qquad B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right), $$ donde $\zeta$ es una raíz primitiva de la unidad de orden $2^{n-1}$ . De nuevo, el elemento $-I_2=B^2=A^{2^{n-2}}$ es el único elemento de orden dos, por lo que está contenido en todos los subgrupos no triviales.